Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Quotientenregel – Übungen

Hallo. Heute erkläre ich euch, wie die Quotientenregel lautet, und zeige euch an Beispielen, wie man diese anwendet. Die Quotientenregel ermöglicht das Bilden einer Ableitung vom Quotienten zweier Funktionen. Wenn f(x)=u(x)/v(x) gegeben ist, gilt für f': f'(x)=(u'×v-u×v')/v2. Das ist die Quotientenregel. Ein Beispiel für solch eine Funktion könnte so aussehen. Nun üben wir diese Regel mit verschiedenen Funktionen. Beginnen wir mit der ersten Funktion. Gegeben ist f(x)=3x2/(2x-4). Wir verschaffen uns einen kleinen Überblick: u=3x2 und v=2x-4, dann ist u'=6x und v'=2 ; v2=(2x-4)2Nun setzen wir dies in die Formel ein und erhalten wir f'(x)=(6x×(2x-4)-3x2×2)/(2x-4)2 Zunächst rechnen wir 6x mit der ersten Klammer und erhalten hierfür:12x2-24x und rechnen anschließend 3x2×2, was 6x2 ergibt. Also erhalten wir: f'(x)=(12x2-24x-6x2)/(2x-4)2 Dann rechnen wir 12x2-6x2 und erhalten anschließend für f'(x)=(6x2-24x)/(2x-4)2 Ganz wichtig ist: Rechnet die binomische Formel im Nenner NICHT aus. In den allermeisten Fällen kann man, wenn man weiter ableitet, später leicht kürzen - wenn man die Klammer im Nenner so stehen lässt, wie sie ist. Nun ein zweites Beispiel. Wir haben folgende Funktion: f(x)=ex/xVerschaffen wir uns wieder einen Überblick und erhalten für u=ex und für v=x und für u'=ex für v'=1 und für v2=x2.Nun wenden wir wieder die Formel an und erhalten: f'(x)=(ex-ex×1)/x2Nun klammern wir ex aus und erhalten anschließend: f'(x)=(ex(x-1))/x2 Am nächsten Beispiel seht ihr, wie man mit Hilfe der Quotientenregel die Ableitung von f(x)=tanx [Tangens von x] bestimmen kann. Denn: tan(x)=sin(x)/cos(x) Das ist ein Quotient aus Funktionen, deren Ableitungen wir schon kennen. Also haben wir die Funktion: f(x)=tan(x)=sin(x)/cos(x)u=sin(x) ; v=cos(x) ; u'=cos(x) ; v'=-sin(x) ; v2=(cos(x))2 Wir setzen die Formel ein und kriegen: f'(x)=(cos(x)×cos(x)-sin(x)×(-sin(x)))/(cos(x))2 Das Ganze können wir noch mal zusammenfassen, cos(x)×cos(x)=(cos(x))2 und -sin(x)×(-sin(x))=(+sin(x))2 Also erhalten wir: f'(x)=((cos(x))2+(sin(x))2)/(cos(x))2(cos(x))2+(sin(x))2 müsstet ihr erkennen, das ergibt nämlich 1. Dies heißt auch trigonometrischer Pythagoras. Also erhalten wir: f'(x)=1/(cos(x))2 Kommen wir zur letzten Aufgabe: f(x)=(x+7)/(x2+3x) Der Überblick: u=x+7 ; v=x2+3x ; u'=1 ; v'=2x+3 ; v2=(x2+3x)2 Wir benutzen die Formel und kriegen: f'(x)=(1×(x2+3x)-(x+7)×(2x+3))/(x2+3x)2 Nun können wir 1 mit der ersten Klammer multiplizieren und erhalten: (x2+3x) Dann multiplizieren wir die zweite und dritte Klammer und erhalten: (2x2+17x+21) Zusammengefasst also: f'(x)=((x2+3x)-(2x2+17x+21))/(x2+3x)2 Nun rechnen wir noch die beiden Klammern im Zähler und erhalten: f'(x)=(-x2-14x-21)/(x2+3x)2 Zum Schluss noch ein Tipp, wie ihr euch die Quotientenregel merken könnt. Sie ist der Produktregel sehr ähnlich. Man muss aber immer den Zähler zuerst ableiten und der Term im Zähler hat ein Minus - also kein Plus wie die Produktregel. So, jetzt sind wir zum Ende angelangt. Heute habt ihr etwas über die Quotientenregel gelernt und wie man diese anwendet. Tschüss.

Informationen zum Video
6 Kommentare
  1. Default

    super verständlich, vielen Dank! :)

    Von Bwj Rogoll, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Hat mir wirklich sehr geholfen ist sehr verständlich erklärt worden :)

    Von Luana Pennella, vor etwa 3 Jahren
  3. 41714 100000408667009 7596 n

    toll erklärt!
    du hast eine sehr angenehme stimme :-)

    Von Philipp M., vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    danke :)

    Von Angelina S., vor mehr als 6 Jahren
  5. Default

    Da kann ich mich nur anschließen. Sehr schönes Video. Weiter so. ;)

    Von Florian83, vor mehr als 6 Jahren
  1. Printimage

    Gutes Video

    Von Steph Richter, vor fast 7 Jahren
Mehr Kommentare