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Transkript Quadratische Gleichungen – Übung 5

Hallo. Eine Anwendungsaufgabe zu den quadratischen Gleichungen, eine Textaufgabe. Der Text lautet: Ein Rechteck habe die Fläche von 90cm² und einen Umfang von 38cm. Wie groß sind die Seiten des Rechtecks? Das soll wohl auf eine quadratische Gleichung hinauslaufen, mal schauen was passiert. Man kann ja erst mal aufschreiben, was man hat. Also die Fläche soll 90cm² sein, das kann ich schon mal hinschreiben. Der Umfang soll 38cm werden. Fläche hat einen Großbuchstaben, Umfang einen kleinen Buchstaben, manchmal wird er auch großgeschrieben, ist egal. Auf jeden Fall ist das ein u, und das ist der Umfang, 38 cm. Und die Frage ist, wie groß sind die Seitenlängen des Rechtecks? Wenn man da keine Idee hat, kann man zunächst einmal aufschreiben, wie denn überhaupt die Fläche eines Rechtecks definiert ist. Die Seiten sollen mal a und b heißen dieses Rechtecks oder eines beliebigen Rechtecks, dann muss man einfach rechnen a×b, das ist die Fläche. Wie ist denn der Umfang eines Rechtecks definiert? Man kann einfach mal die Formeln hinschreiben, U=2a+2b. Jeweils die beiden gegenüberliegenden Seiten a, zweimal b, und wenn man das Band einmal ganz drum herum legt, dann kommt ja jede Seite einmal an dem Band vor. Dann hat man den Umfang. Ja das ist jetzt aber doof, wenn ich jetzt eine Seite ausrechnen möchte, hier zum Beispiel, dann wird das mit der Gleichung nicht funktionieren und mit der auch nicht, weil nämlich hier 2 Variablen sind. Ich habe A gegeben, ich könnte jetzt 90 für A einsetzen, für das große A, aber klein a und klein b habe ich nicht. Wie du ja weißt, hat eine Gleichung nicht genau eine Lösung, wenn sie 2 Variablen hat. In der Regel zumindest nicht. Hier ist es so, hier auch übrigens, zwei Variablen a und b, u ist bekannt. Wir haben aber 2 Gleichungen, das bedeutet, ich könnte zum Beispiel diese Gleichung hier nach b auflösen. Und dann könnte ich hier in der Gleichung das b ersetzen durch das, was ich hier ausgerechnet habe. Das geht so, ich rechne erst mal die gesamte Gleichung geteilt durch 2. Hier also U/2=a+b. 2a/a=a, 2b/b=b. Und dann kann ich noch -a auf beiden Seiten rechnen und es kommt raus: (U/2)-a=b. Na Prima! Dann weiß ich, wie groß b ist in Abhängigkeit von a. a und b sind hier voneinander abhängig. Wenn ich etwas für a einsetze und den Umfang kenne, dann kann ich b ausrechnen, umgekehrt wäre es genauso, hätte dann aber anders umstellen müssen, das wäre günstiger gewesen, aber das will ich auch gar nicht machen. Sondern ich möchte zeigen, dass ich hier statt des b das reinschreiben kann, was ich hier für b ausgerechnet habe, und dann ist die Flächenformel also so: A  (die Fläche also im Rechteck) = a×((U/2-a). Und das ist jetzt noch eine einzige Unbekannte, dann kann ich etwas für A und u einsetzen und die Gleichung lösen. Also ich setze dann mal ein 90, ich verzichte hier auf die Einheiten, mache mir später darüber Gedanken, was das für Einheiten sind. Fläche ist also 90, a ist unbekannt. U/2 ist (38/2)-a Klammer zu. Das hat jetzt mit der Normalform noch nicht viel zu tun, da müssen wir noch ein bisschen umformen, das mache ich jetzt auch mal. Und zwar haben wir hier, wie fange ich am besten an? a×(38/2), das sind, also 90 schreibe ich erst hin, das sind 19a. a×(-a) sind -a². Und dann können wir Folgendes machen: Ich kann die ganze Gleichung mit -1 multiplizieren, dann steht hier -90=a², das schreibe ich jetzt nach vorne, -19a, ich glaube das muss ich jetzt nicht alles im Einzelnen vorrechnen. Die Vorzeichen ändern sich alle, wenn ich mit -1 multipliziere. Wenn ich jetzt noch 90 auf die andere Seite bringe, dann habe ich hier also stehen: a²-19a+90. Und das ist jetzt eine Normalform. Das da oben brauche ich im Moment nicht mehr. Das ist eine Normalform einer quadratischen Gleichung und jetzt geht es Orange weiter, macht nichts. Dann kann ich das lösen, und zwar bleibe ich bei dem a, ist ja, egal wie die Variable heißt, ob nun x oder a. a ist also gleich -p/2, p ist jetzt -19, damit sind also -p/2=+9,5. 19/2 ist 9,5. ± die Wurzel von (9,5)², also p/2 ist jetzt (-9,5)², also (9,5)², das kann ich wieder nachrechnen mit 1. binomischer Formel, das ist 9² ist 81 plus 9 plus 0,25. Das heißt, wenn ihr hier, also bei 90,25 und jetzt kommt, noch -q hierhin, q=90, -q=-90 und das ist das, was rauskommt, wenn man die p-q-Formel anwendet. Das habe ich natürlich gleich ausgerechnet. Dann bleibt hier also nur noch übrig 9,5±, tja, 90,25-90=0,25, also 1/4. \sqrt(1/4)=1/2. Also ±0,5. Damit ist a1, also die eine Möglichkeit für die Seitenlänge, 10, 9,5+0,5. Die andere Seite oder Seitenmöglichkeit für a, a2 ist also 9,5-0,5=9. Dann können wir nachrechnen, wie groß b jeweils ist, wenn also a=10 ist, wie groß ist dann b? Das kann ich hier direkt ausrechnen, da habe ich es stehen, (U/2)-a=b. U/2=38/2=19, 19-10=9, daraus folgt also dass b=9 ist. Wenn a=9 ist kann ich hier wieder das b ausrechnen. 19-9=10, das heißt dann ist das b=10. Die Antwort ist also, wir haben ja gesucht, wie groß sind die Seiten eines Rechtecks, für das gilt, dass die Fläche 90cm² ist und der Umfang 38cm. Antwort ist also, die Seiten sind 10 und 9cm lang. Das ist also quasi nur ein Rechteck, was diese Bedingung erfüllt. Eine Seite ist 9, eine ist 10cm. Damit ist die Aufgabe gelöst, viel Spaß damit, bis bald, tschüss!

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11 Kommentare
  1. Felix

    @Siciliakatze: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
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    Von Martin Buettner, vor 4 Monaten
  2. Default

    Video kann nicht gestartet werden : (

    Von Siciliakatze, vor 4 Monaten
  3. Default

    Könnte jemand die zum Video beigefügte Übung ausrechnen ? :)

    Von Sebastian Vo92, vor 7 Monaten
  4. Sweet

    Gutes Video. Sehr hilfreich :)

    Von Miriam Zoë, vor etwa einem Jahr
  5. Giuliano test

    @Alexander Hase:
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    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
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    Wo ist das Video? Ich kann es nicht starten

    Von Alexander Hase, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Video spielt nicht !

    Von Joniehh, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    thx

    Von Zimtschnecke, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    Danke :)

    Von A Suchanow, vor fast 3 Jahren
  5. Photo 00033

    Klasse!

    Von Bernadette W., vor mehr als 4 Jahren
  6. Default

    Super Video

    Von Robin Ms, vor mehr als 7 Jahren
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