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Transkript Quadratische Gleichungen – Übung 1

Hallo. Wir machen Textaufgaben, die mit quadratischen Gleichungen zutun haben. Die du also mit quadratischen Gleichungen lösen kannst. Und eine der einfachst denkbaren Aufgaben, die man also noch vernünftig stellen kann und sinnvoll stellen kann ist die folgende. Das Produkt aus einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger ist 182. Wie heißt die Zahl? Na was kann man machen? Erst mal den Aufgabentext verstehen. Also Produkt aus einer natürlichen Zahl. Produkt wissen wir, was das ist. Das muss ich nicht erklären. Eine natürliche Zahl. Das kann man sich noch mal eben ins Gedächtnis zurückrufen. Die natürlichen Zahlen sind ja die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter. Manchmal mit 0, manchmal ohne 0. Nächstgrößere Menge sind die ganzen Zahlen. Ich weiß nicht, die Negativen auch. Die negativen ganzen Zahlen. Also -1, -2, -3 und so weiter. Nächstgrößere Menge bestehen aus den rationalen Zahlen. Das sind alle Brüche. Und dann die reellen Zahlen. Das sind die Zahlenmengen, die man kennen sollte. Die reellen Zahlen sind alle Punkte auf der Zahlengeraden. Bei uns geht es aber um die erste Menge. Die natürlichen Zahlen. Also 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter. Das sind die natürlichen Zahlen. Also das Produkt aus einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger ist 182. Was ist der Nachfolger einer natürlichen Zahl? Die natürlichen Zahlen sind ja in einer Reihe. Und die Zahl, die da rechts daneben kommt, neben einer Zahl, das ist der Nachfolger. Also der Nachfolger von 7 ist die 8. Nachfolger von 23 ist die 24. Das ist jeweils die nächstgrößere Zahl. Damit ist das geklärt. Also erst muss man sich ja überlegen. Kenn ich alles, was in der Aufgabe steht? Habe ich die Aufgabe verstanden? So, nachdem das geklärt ist, kann man sich jetzt überlegen. Es ist eine Aufgabe zu quadratischen Gleichungen. Vielleicht kann ich die ja mit einer quadratischen Gleichung lösen. Wäre möglich. Wenn ich eine quadratische Gleichung aufstellen will, ist die erste Überlegung dann was ist das x. Was ist die Unbekannte? Ich schreib das schon Mal hin. x ist also das, was wir suchen. Nämlich die natürliche Zahl. Für die gilt das Produkt aus Zahl und Nachfolger der Zahl ist gleich 182. Ja, und wenn ich schon weiß, ist gleich 182. Dann kann ich das schon Mal mit hinschreiben. Und hier muss ja noch das Produkt aus der Zahl und dem Nachfolger stehen. Das ist =128. Dann habe ich auch schon die Gleichung. Wie kann ich jetzt, wenn ich die Zahl nicht kenne. Wenn ich weiß es geht um die 28, dann weiß ich auch das der Nachfolger 29 ist. Wenn ich aber die Zahl aber nur als x bezeichne. Wie kann ich dann den Nachfolger bezeichnen. Ja, das ist fast so einfach, das man das nicht errechnen kann. Man muss einfach nur drauf kommen.  Der Nachfolger ist x+1. Ja kommt öfter vor. Kann man sich ruhig merken. Die Zahl, die rechts neben einer natürlichen Zahl liegt, ist dann die Zahl +1. Also hier x+1. Ja wenn x=7 ist, dann ist x+1=8. Das ist der Nachfolger. Ok, und das ist schon die quadratische Gleichung, um die es hier geht. Wenn ich die jetzt lösen möchte. Was kann ich da machen? Möchte wissen, wie groß das x ist. Was ich für x einsetzen kann, damit die Gleichung richtig wird. Es gibt mehrere Möglichkeiten jetzt, klar Ich bringe auf Normalform und wende die p-q Formel an. Um diese Formel auf Normalform zu bringen, muss ich hier ausmultiplizieren. Das ist eine Termumformung. Dann steht da also x×x, das ist x2. + x×1=x. Und das mache ich jetzt in einem hier. Ich rechne -182. Auf dieser Seite muss ja die 0 stehen, wenn es die Normalform sein soll. Also -182 auf beiden Seiten. Das geht noch. Ist gleich 0. Und  das ist schon die Normalform. Ich darf direkt die p-q Formel anwenden. x1,2=. Wir haben die p-q Formel. Ist ja -p 1÷2. Muss ich mir eben überlegen. Was ist p, was ist q. Hier in dieser Normalform. Die Normalform lautet: x2+px+q. px, na ja hier steht keine Zahl vor dem x. Wenn da keine Zahl steht, bedeutet das 1×x ist quasi die 1. x2+px+q. q ist also -182. Und dann kann ich die Formel anwenden. Sie beginnt ja mit -p1/2. Also -p, dafür setze ich die 1 ein. 1/2. +-?. p ist wieder die 1. p1÷2, also (1÷2)2-q. q ist bei uns -182. -q ist 182. Und deshalb ist das die Formel, die du erhältst. Und ja, ich mach das ohne Taschenrechner. Das ist einfach zu machen. Ich weiß ja 1/22=0,25. Zusammen ist es 182,25. Und ja wenn man öfters mit der binomischen Formel gerechnet hat, dann weiß man das ist 13,52. Also steht hier letzten Endes. x1,2=-1÷2+-13,5. Ja die Wurzel aus 13,52 ist 13,5. So und die eine Lösung ist hier dann. -1÷2+13,5. x1=13. Und x2=-1÷2-13,5. Das ist nicht Element der natürlichen Zahlen. Das heißt, ist nicht Element von. Das ist das Zeichen für die natürlichen Zahlen. Und deshalb in diesem Zusammenhang interessiert mich das nicht. Denn es war ja nur nach einer natürlichen Zahl gefragt. So dann würde ich sagen die Lösung ist also 13. Wenn man für x 13 einsetzt. Dann kommt hier 182 raus. Darf man eben probieren. 13×14. 13×13=169. 13×14 ist ja noch eine 13 dazu. 169+13=182. Probe ist also gelungen. 13 ist richtig. Denn das ist die einzige Lösung. Viel Spaß damit. Bis bald, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    warum muss man ausmultiplitzieren das habe ich nicht verstanden

    Von B.S.ö, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Danke für die Erklärung :)

    Von Robin Ms, vor mehr als 7 Jahren