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Transkript Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo)

Hallo! Wenn wir eine quadratische Gleichung vorliegen haben wie diese hier zum Beispiel, dann können wir hier unschwer feststellen, dass diese quadratische Gleichung nicht in Normalform vorliegt. Es könnte aber sein, dass wir diese Gleichung in Normalform haben möchten und, um das zu erreichen, müssen wir diese Gleichung hier in Normalform bringen. So nennt man das und das macht man, indem man Äquivalenzumformungen anwendet. Äquivalenzumformungen bestehen im Wesentlichen aus den vier Grundrechenarten. Man kann bei einer Gleichung auf beiden Seiten etwas addieren oder auf beiden Seiten etwas subtrahieren. Man kann beide Seiten mit der gleichen Zahl multiplizieren oder beide Seiten durch die gleiche Zahl dividieren. Das reicht hier auch im Wesentlichen aus und das möchte ich jetzt Mal vormachen. Wir erinnern uns, die Normalform einer quadratischen Gleichung sieht so aus: (x2 + Zahl) × (x + Zahl) = 0. Deshalb möchte ich hier alle x2 erst mal auf die linke Seite bringen, -6x2 steht da schon. Das schreibe ich ab. In welcher Reihenfolge ich das hier hinschreibe, ist ja egal. Und dann muss ich noch auf beiden Seiten +x2 rechnen, damit hier dieses x2 dann sich mit dem +x2 zu 0 addiert und letzten Endes weg ist. Also kann ich hier hinschreiben +x2 und ich schreib erst mal -1,5x hin. Ja, ich hätte auch das Andere zuerst machen können, das ist egal. Und ich möchte jetzt hier auf beiden Seiten -0,5x rechnen, dann wird das hier verschwinden. Das wird dann also +0,5x -0,5 x, addiert sich wieder zu 0. Und hier taucht dann auf der linken Seite, das ist immer noch die linke Seite, taucht dann -0,5 × x auf. Das x kann ich noch ein bisschen größer machen, bitteschön. Und dann rechne ich noch -21 auf beiden Seiten. Dann ist es hier auf der rechten Seite weg und auf der linken Seite steht -21. Jetzt habe ich zumindest Folgendes erreicht, dass nämlich auf der rechten Seite eine 0 steht. Da komme ich schon der Normalform ziemlich nah. Jetzt möchte ich diese hier noch zusammenfassen, also -6x2 + x2 sind insgesamt -5x2. Ja, irgendwie verrutscht das x immer so ein bisschen heute. Dann habe ich hier -1,5x -0,5x, macht zusammen -2x und -21 bleibt einfach in voller Schönheit dort stehen. Da ist nichts Weiter hinzuzufügen.  Dann hatten wir ja gesagt, die Normalform beginnt mit x2 und nicht mit -5. Nun muss ich also beide Seiten durch dieselbe Zahl, nämlich durch -5 teilen, damit dann hier die -5 sich rauskürzt und die Gleichung tatsächlich mit x2 beginnt. So, x2 steht schon da. Ich teile also auf beiden Seiten durch -5. Minus durch Minus ergibt Plus, 2 durch  5 ist 2/5. Und weil es so Spaß macht, möchte ich das direkt Mal als Dezimalzahl schreiben. Du weißt ja, dass 1/5 gleich 0,2 ist, 2/5 sind dementsprechend 0,4 und das schreibe ich einfach Mal hier auf. Nur zur Wiederholung: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln! 2/5 kommt hier raus, wenn man 2 durch 5 teilt und dann kann man das auch gleich als Dezimalzahl schreiben. -21 / -5, weiß ich zunächst Mal Minus durch Minus ergibt Plus, 5 geht 4 × in die 20 rein, also 20 / 5 = 4. Und dann bleibt noch 1/5 übrig. Ich weiß schon, dass 1/5 = 0,2 ist. Alles zusammen ist dann 4,2 und 0 / -5 bleibt 0. Da ist nichts weiter zu ändern. So, und jetzt haben wir diese obere Gleichung in die untere Normalform gebracht. Sie heißt jetzt x2 + 0,4x + 4,2 = 0. Und diese untere Gleichung hat dieselbe Lösungsmenge wie die obere Gleichung. Nur ist jetzt praktischer zu lösen, sie steht in Normalform da und das wollten wir erreichen. Herzlichen Glückwunsch! Bis bald! Tschüss!

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4 Kommentare
  1. Default

    Sehr gut erklärt. Danke :)

    Von Jlp123 K, vor 6 Monaten
  2. Default

    Vielen Dank für die schnelle Antwort!
    Ich hatte irgendwie übersehen, dass ich die -0,9 auf der rechten Seite dann auch mit x multiplizieren musste, jetzt ist alles klar, danke :)

    Von Johanna Wolli, vor etwa 2 Jahren
  3. Flyer wabnik

    Wenn du die gesamte Gleichung mit (x+5) und x multiplizierst, erhältst du: 135*x = 135*(x+5) - 0,9*(x+5)*x. Wenn du dann die Klammern ausmultiplizierst erhältst du: 135*x = 135*x + 135*5 - 0,9x² - 0,9*5x. Der Rest läuft, oder?

    Von Martin Wabnik, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Gutes Video (wie fast immer)!

    Ich hole gerade die 8. Klasse nach, und nutze dafür solche Übungsseiten am Ende jeden Kapitels der Schulbücher. An einer Textaufgabe hänge ich total, hab nach einigen Denkfehlern tatsächlich die richtige Gleichung rausbekommen (Lösung gibts zum überprüfen auf den letzten Seiten, doch ist oftmals zu knapp gehalten). Aber jetzt kriege ich sie nicht in die Form x²+px+q = 0, wahrscheinlich stehe ich einfach irgendwo auf dem Schlauch, aber das ärgert mich.

    Die Gleichung ist: 135/(x+5) = (135/x)-0,9

    Könnte mir irgendeiner, der das liest, helfen? :)

    LG

    Von Johanna Wolli, vor etwa 2 Jahren