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Transkript Quadratische Gleichungen mit binomischen Formel lösen (3)

Hallo, hier kommt der dritte Teil, der trickreichen Lösung einer quadratischen Gleichung. Dieser Teil hier, sieht aus wie die 3. binomische Formel, und zwar, da ist ja die 3. binomische Formel, ich hoffe, Du erkennst das wieder, ohne A und B, aber das ist auch nicht nötig. Wir haben hier in diesem Kästchen: Hier muss das hin, was quadriert wird. Das ist in dem Fall, ich muss einwenig ausholen, (x-4,5). Das wird hier quadriert, dann kommt ein Minuszeichen und dann kommt 1,5². Das bedeutet also, wir haben hier einen Term, der die Struktur der 3. binomischen Formel hat. Dann darf ich sie auch anwenden, und zwar kommt.. Das muss ich eben umdrehen, macht nichts, wäre auch andersherum richtig, nein, wäre nicht richtig gewesen, so herum ist es richtig. Guckst Du? Hier haben wir in dem roten Kästchen x-4,5. Auf die Klammer kann ich jetzt verzichten. Hier kann ich übrigens nicht auf die Klammer verzichten, denn es wird ja x-4,5 als Ganzes quadriert. Hier habe ich kein Quadrat dran, deshalb kann ich darauf verzichten. Also, in das grüne Kästchen kommt 1,5. Da steht es. In das rote wieder x-4,5 und in das grüne wieder 1,5. Das bedeutet, ich darf diesen Term jetzt hinschreiben, der durch die 3. binomische Formel entstanden ist. Das geht so: wir haben hier, (x-4,5+, ja, das kann ich gleich ausrechnen. Das rechne ich gleich aus. Also: -4,5+1,5=-3, dann kann ich hier hinschreiben (x-3)×(x, klar, hier steht -4,5-1,5=-6, das kann man einfach so nachrechnen. Ich denke, da brauchst Du keinen Taschenrechner für. Das ist ein =, das soll immer noch =0 sein. Die brauchen wir jetzt auch nicht mehr. (x-3)×(x-6)=0. Jetzt kommt noch eine trickreiche Sache. Was heißt Trick, naja, also, Argumentation ist jetzt Folgende: Das, was hier steht, ist ein Produkt, weil die letzte Rechnung, wenn wir diesen Term hier ausrechnen würden, die letzte Rechnung ist eine Punktrechnung. Nämlich dieses Mal hier. Wir würden für x etwas einsetzen, dieses Ergebnis ausrechnen, für x was einsetzen und dieses Ergebnis ausrechnen und beide Ergebnisse multiplizieren. Das heißt, die letzte Rechnung wäre dann eine Punktrechnung, von daher ist die linke Seite dieser Gleichung ein Produkt. Nun wissen wir, ein Produkt wird immer genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Das ist der eine Faktor, das ist der andere Faktor. Nur wenn einer von beiden oder auch beide 0 werden, dann ist das Produkt 0. Das führt uns einmal zu der Gleichung, zu 2 Gleichungen. Wir setzen den einen Faktor =0, also x-3=0, das ist ja der hier und das ist genau dann der Fall, wenn x=3. Ich hoffe, das siehst Du so. Der andere Faktor heißt x-6, das ist der hier, der wird 0, genau dann, wenn x=6. Das sind die beiden Lösungen unserer quadratischen Gleichung. x kann 3 sein oder x kann 6 sein. Beides mal ist die Gleichung richtig. Ich zeige noch einmal, wie wir angefangen haben, nämlich mit dieser Gleichung hier: 3x²-27x+54=0. Dann haben wir quadratische Ergänzung gemacht, zweite binomische Formel angewendet, hier dritte binomische Formel angewendet hier und sind auf diese beiden Lösungen gekommen: 3 und 6. Du kannst es gerne nachrechnen, es stimmt, wenn man 3 oder 6 einsetzt, wird die obere Gleichung richtig, sonst nicht.    Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    sehr gut erklärt!

    Von Familiewittich, vor fast 2 Jahren