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Transkript Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen (1)

Hallo! Es gibt quadratische Gleichungen, die sollte man durch Faktorisieren lösen oder, naja, durch eine einfache Umformung kann man das auch machen, und das sind Gleichungen, die zum Beispiel so aussehen: x²-4=0. Also hier solltest du nicht auf die pq-Formel kommen oder die quadratische Ergänzung, wie man so sagt, das wäre mit Kanonen auf Spatzen schießen. Etwas makaber, der Vergleich, aber was ist hier zu tun? Du könntest jetzt auf jeden Fall, indem du +4 rechnest, die 4 auf die andere Seite bringen und dann auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, dann bist du auch schnell fertig, aber diese Gleichung schreit quasi nach der 3. binomischen Formel. Um den Schrei noch etwas lauter zu gestalten, möchte ich die 4 ersetzen durch 2², und falls doch das noch nicht reicht und du die 3. binomische Formel vergessen haben solltest, so sieht die eine Seite der 3. binomischen Formel aus. Wenn du hier für a x einsetzt und für b 2 einsetzt, erhältst du genau den Term, der hier steht, und deshalb kannst du dann zu anderen Seite der binomischen Formel übergehen und das, was hier steht, eben schreiben als (x+2)×(x-2). Das soll gleich 0 sein. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Dieser Faktor wird 0, wenn x=-2 ist, dieser Faktor wird 0, wenn x=+2 ist, und damit ergibt sich x ist gleich die eine Lösung =-2 und die andere Lösung ist gleich 2. Ja, so sieht das aus, und das funktioniert auch mit anderen Zahlen, nicht nur mit der 4, das möcht ich auch eben kurz zeigen, auch deshalb, weil das Faktorisieren von Summen in vielen anderen Bereichen auch immer ganz wichtig ist oder ganz praktisch ist. Wir haben also die Gleichung hier x²-3. Kann man die in die faktorisierte Form bringen? Vielleicht mit der 3. binomischen Formel? Möglicherweise ja, das geht, und zwar auch hier, um das noch mal plakativer zu machen, ich kann die 3 ersetzen durch (\sqrt3)². Die 3 ist ja gleich ihrer Wurzel zum Quadrat. War das jetzt richtig im Deutschen? Egal. Deshalb kannst du auch hier wieder diese binomische Formel erkennen, und zwar wenn du für a x einsetzt und für b (\sqrt3) einsetzt, und die beiden Lösungen sind dann direkt (\sqrt3) und -(\sqrt3). Und einen klitzekleinen Fall möcht ich noch zeigen, bei dem das Ganze nämlich nicht funktioniert, und das ist so. Wir haben x²+4=0. Da könnte man sagen "Ja, ich hab das bemerkt, 4 ist eine Quadratzahl, nämlich 2², x² natürlich auch, nämlich das Quadrat von x", aber der entscheidende Unterschied ist: Hier steht nicht dieses Minuszeichen, und das wäre nötig, um die 3. binomische Formel anzuwenden. Damit klappt das also nicht und da wir uns im reellen Bereich befinden, wir befinden uns innerhalb der Menge der reellen Zahlen, zumindest wollen wir innerhalb dieser Menge Gleichungen lösen, dann darfst du auch gleich bemerken: x²+4 wird niemals 0, weil nämlich x² immer größer oder gleich 0 ist. Wenn man dann noch was dazuaddiert, was Positives, dann wird das überhaupt nicht 0, und deshalb hat diese Gleichung im Reellen auch überhaupt keine Lösung, und es wäre eine Überraschung, wenn wir hier die 3. binomische Formel anwenden könnten und zu vernünftigen Ergebnissen kämen. Zumindest innerhalb der reellen Zahlen und folgerichtigerweise passt das dann auch nicht. Das war es also zum Faktorisieren, viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
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    vielen Dank :)

    Von Adrian Sutter, vor etwa einem Monat