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Transkript Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (3)

Hallo, das Verfahren des Ausklammerns, um quadratische Gleichungen zu lösen, das ist einfach und du kannst die Nullstellen schnell ablesen, aber du kannst es nicht immer anwenden, und jetzt zeig ich, wann du es nicht anwenden kannst: zum Beispiel wenn hier die Gleichung steht x²-3x+6, dann funktioniert das nicht. Warum funktioniert das nicht? Ich kann ja trotzdem hier aus diesen beiden Summanden das x ausklammern, das mach ich jetzt auch mal, angewandtes Distributivgesetz: x×(x-3)+6=0. Ja, und jetzt könnte man auf die Idee kommen: ich möchte hier die 6 nicht mehr haben, ich möchte einfach nur x×(x-3) haben, dieses Produkt hatte ich in den anderen Sachen, in den anderen Gleichungen auch, als ich das ausgeklammert habe und die Gleichung dadurch gelöst habe. Ja. Dann steht hier also, wenn wir auf beiden Seiten -6 rechnen, steht hier x×(x-3)=-6. So. Und jetzt können wir fragen: Warum funktioniert das nicht? Ganz einfach: Wir hatten argumentiert: Ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird und hatten also die Situation, das hier eine 0 steht. Dann ist diese Argumentation sinnvoll. Das ist ein Produkt, das Produkt soll =0 sein, es wird nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, das heißt, dann kann man die Nullstellen ablesen, x müsste gleich 0 sein oder x müsste =3 sein, aber dieses Produkt soll ja gar nicht =0 werden, damit die Gleichung richtig ist, es soll =-6 werden, und damit ist diese ganze schöne Argumentation hinfällig. Es soll eben -6 werden und nicht 0. Fertig. Man könnte sagen "Ja, hier steht aber die 0". Nun, richtig, aber das hier ist eine Summe, nicht, die letzte Rechnung, die hier gemacht wird, ist ja eine Strichrechnung und deshalb ist es eine Summe. Dieses Produkt wird weiterhin nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, aber das soll ja gar nicht 0 werden, damit die Gleichung richtig ist, sondern dieses Produkt hier müsste =-6 sein, damit -6+6=0 ist. Und, ja, damit funktioniert das halt nicht. Es gibt einen weiteren Fall, wo das auch nicht funktioniert. Der kommt nicht ganz so häufig vor, aber ich möchte ihn trotzdem zeigen, nämlich wenn da steht, das ist dann noch nicht einmal eine quadratische Gleichung, sondern wir haben zum Beispiel x-x/1=0 oder vielleicht doch was Verklausulierteres, dann könnte man jetzt auch auf die Idee kommen, okay, ich klammer das x aus. Das kann ich hier und hier ausklammern, das kommt ja in beiden Summanden vor, also steht hier x, ja weil hier 1×x steht, steht dann hier auch die 1-1/1, das wissen wir so, das ist gleich 1, ja und dann können wir schon mal sehen, dass da jemand sagt okay, das Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, das x könnte also =0 sein, und hier ist ja gar kein x drin, also lass ich das, betrachte ich gar nicht weiter. Ja. Und das funktioniert so nicht. Und zwar deshalb, weil hier ja sowieso schon 0 steht. 1/1 ist 1, 1-1=0, das bedeutet also wir haben hier stehen x×0=0. Die Argumentation: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, ist immer noch richtig, nur kann man daraus nicht schließen, dass man für x 0 einsetzen muss, denn x×0 ist immer 0, egal was man für x einsetzt, das heißt man kann hier für x jede Zahl einsetzen, und deshalb ist eben hier der Schluss nicht ganz richtig, dass x nur =0 sein kann, außerdem ist das ja auch gar keine quadratische Gleichung, ich wollte nur drauf hinweisen, so was kann auch passieren, da musst du dann wieder mit Überblick vorgehen und nicht einfach irgendwelche Methoden auf irgendwas anwenden, wenn das x mit 0 multipliziert wird, kannst du alles für das x einsetzen und es kommt immer 0 raus, damit ist die Lösungsmenge hier alle reellen Zahlen. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

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4 Kommentare
  1. Default

    Irgend ein Beispiel das eh nie vorkommt

    Von Stiegersmile, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Können sie mir bei einer ganz einfachen Aufgabe helfen ?

    a) X (x-2) = 0

    Wie rechne ich dass am besten aus ? Also können sie mir dich Rechenschritte sagen ? oder am besten die Lösung + Rechenweg ? :)

    Von Koray E., vor mehr als 3 Jahren
  3. Photo 00033

    klasse

    Von Bernadette W., vor fast 4 Jahren
  4. Photo 00033

    Einfach immerwieder Klasse! Super wie die typischen Schülergedanken (Fehler..) aufgegriffen werden!

    Von Bernadette W., vor fast 4 Jahren