Textversion des Videos

Transkript Quadratische Gleichungen – Anwendungsaufgabe zu Tanzgruppe

Guten Tag und herzlich willkommen! In diesem Video geht es um quadratische Gleichungen. Das Thema entstammt dem Rahmenlehrplan für die 9. Klasse. Die vorgestellte Aufgabe entspricht dem Niveau des Gymnasiums. ÄÄhnliche Aufgaben könnt Ihr an Berliner Schulen finden. Es handelt sich hierbei um eine Sachaufgabe. Den Ansatz liefert eine Bruchgleichung, aus der die quadratische Gleichung erstellt werden muss. Der Schwierigkeitsgrad ist anspruchsvoll. Eine ähnliche Aufgabe könnte man in Klassenarbeiten antreffen.

In der Aufgabe geht es um eine Kindertanzgruppe. 9000 Euro stehen für die Kinder zur Verfügung, wobei jedes Kind die gleiche Menge an Geld erhalten soll. Bevor das Geld verteilt wird, verlassen 3 Kinder die Gruppe. Dadurch erhält nun jedes Kind 150 Euro mehr. Wie viel Kinder waren vorher in der Tanzgruppe?

Versuchen wir die Aufgabenstellung sauber zu formulieren. Gegeben: n ist die Zahl der Schüler vorher. (n-3) ist die Zahl der Schüler nachher. 9000 Euro ist das Geld für alle Schüler; 150 Euro erhält jeder Schüler nachher mehr. Gesucht ist n, die Anzahl der Schüler vorher.

Lösung: Eine prinzipielle Bemerkung: Wir arbeiten ohne Einheiten. Die einzige Einheit ist Euro, die wir uns denken, aber nicht aufschreiben. Wir wollen nun das Geld je Schüler mathematisch formulieren. Vorher: 9000 Euro stehen für alle zur Verfügung. Bei n Schülern erhält jeder Schüler 9000/n. Nachher: Auch jetzt stehen genau 9000 Euro zur Verfügung. Nach dem Weggang dreier Schüler müssen wir nun durch (n-3) teilen. Der Unterschied zwischen vorher und nachher beträgt 150 Euro.

Die erhaltene Bruchgleichung müssen wir lösen. Wir werden dafür die Bruchgleichung in die Normalform der quadratischen Gleichung umwandeln. Jeder Teilterm der Bruchgleichung ist durch 150 teilbar, daher teilen wir durch 150. Wir erhalten: 60/n+1=60/(n-3). Um die Brüche zu beseitigen, multiplizieren wir beide Seiten mit n(n-3). Wir schreiben die Zahl, mit der wir multiplizieren, das ist n(n-3), jeweils in den Nenner der Brüche. Wir erhalten: (60×n(n-3))/n+(n(n-3)=(60×n(n-3))/(n-3). Nun kürzen wir und schreiben das erhaltene Ergebnis sauber auf. Nun multiplizieren wir aus: Der Term 60n steht links und rechts und hebt sich somit auf. Wir erhalten schließlich:

-180+n²-3n=0, eine quadratische Gleichung in n. Der nächste Schritt ist das Lösen der quadratischen Gleichung. Ich schreibe die quadratische Gleichung ordentlich auf und erhalte: n²-3n-180=0. Die quadratische Gleichung liegt hier in Normalform vor. Allgemein lautet die Normalform x: x²+px+q=0. Die PQ-Formel dafür lautet: x,1,2=-p/2±\sqrt((p/2)²-q). Die Wahl der Variable spielt keine Rolle. p beträgt in unserem Fall -3 und q -180. Wir erhalten: n1,2=1,5±\sqrt(2,25+180). Und weiter: n1,2=1,5±\sqrt(182,25). Zum Ziehen der Wurzel habe ich den Taschenrechner verwendet. Schließlich: n1,2=1,5±13,5. Wir erhalten somit: n1=1,5 + 13,5 = 15, und n2=1,5-13,5=-12. -12 entfällt, da eine negative Anzahl von Schülern nicht möglich ist. -12 liegt außerhalb des Definitionsbereiches für n, denn es sollten mindestens 4 Schüler vorhanden sein, denn nach dem Weggang dreier sollte wenigstens ein einziger in der Kindertanzgruppe sein. Somit bleibt als einzige Lösung 15 übrig. n=15.

Antwort: 15 Kinder gehörten vorher zur Gruppe, und zusätzlich: Nachher waren es 12.

Bevor wir schließen, noch einige Worte zur Strategie der Lösung dieser oder ähnlicher Aufgaben. Es ist erstens wichtig, die Aufgabenstellung sauber in mathematischer Sprache zu formulieren. Zweitens: Bevor man ausmultipliziert, sollte man auf gemeinsame Teiler achten. In unserem Fall war das immerhin 150, erinnert Euch. Drittens: Wählt eine angemessene Schrittgröße, rechnet nicht zu ausführlich, aber auch nicht zu schnell, um Euch nicht zu verrechnen. Viertens: Wenn möglich, versucht die Aufgabe ohne Taschenrechner zu lösen. In der Arbeit könnt Ihr ihn dann benutzen. Fünftens und letztens: Schreibt alle Schritte sauber und in Ruhe auf. Wichtig ist es, diese Schritte auch zu begründen.

Ich danke für Eure Aufmerksamkeit. Alles Gute, auf Wiedersehen!

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Rtzdfhfgh

    André, du hast es drauf!
    Weiter so :)
    LG
    Lukas

    Von Luggiii, vor fast 3 Jahren