Textversion des Videos

Transkript Quadratische Gleichungen – Anwendungsaufgabe zu Rechtecken

Guten Tag und herzlich willkommen! In diesem Video geht es wieder um eine quadratische Gleichung. Quadratische Gleichungen behandelt man gewöhnlich in der 9. Klasse. Die Aufgabe ist dem Niveau des Gymnasiums angepasst. Solche Aufgaben löst man in Berlin und Umgebung. Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Sachaufgabe. Die Aufgabe hat geometrischen Bezug. Nach meiner Einschätzung ist der Schwierigkeitsgrad hoch. Solche oder ähnliche Aufgaben könnten in Klassenarbeiten gestellt werden. Der Umfang eines Rechtecks beträgt 17cm. Eine Diagonale ist 6,5cm lang. Berechne die Längen beider Seiten. Es ist zweckmäßig, sich eine Skizze zu erstellen. Wir haben hier das Rechteck und im Rechteck ist uns eine Diagonale gegeben. Die Diagonale nennen wir klein d. Die beiden Seiten bezeichnen wir mit klein a und b. Wir schreiben: gegeben: u=17cm sowie d=6,5cm. Gesucht sind die beiden Seiten a und b. Lösung: In Gleichung 1 formulieren wir die Formel für den Umfang eines Rechtecks: u=2a+2b. Bei Gleichung 2 erinnern wir uns an den Lehrsatz des Pythagoras. a und b sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, d ist die Hypotenuse. Wir schreiben: d2=a2+b2. Wir führen die Rechnungen ohne Einheiten durch. Der Umfang u beträgt 17cm. Wir erhalten für Gleichung 1: 17=2a+2b. b beträgt 6,5cm. Gleichung 2 lautet: 6,52=a2+b2. Wir erhalten ein nichtlineares Gleichungssystem. Das Gleichungssystem lösen wir zweckmäßig durch das Einsetzungsverfahren. Links unten skizziere ich kurz die Lösungsstrategie. 1. Wir formen die Gleichung 1 nach b um. 2. Wir setzen b in die Gleichung 2 ein. 3. Wir berechnen a. 4. Wir berechnen b. Der 1. Schritt: Gleichung 1 wird nach b umgeformt. Wir subtrahieren auf beiden Seiten 2a, dividieren durch 2 und tauschen die Seiten. Wir erhalten für Gleichung 1: b=8,5-a. Mit Teil 1 sind wir fertig. Teil 2: b wird in Gleichung 2 eingesetzt. Bei dieser Gelegenheit berechnen wir 6,52 mit dem Taschenrechner. Wir erhalten Gleichung 2: 42,25=a2+(8,5-a)2 Wir formen Gleichung 2 weiter um, oben: 42,25=a2 Für die Berechnung des Terms (8,5-a)2 benötigen wir die 2. binomische Formel. Entsprechend rechnen wir 8,52+a2-2×8,5×a. a2 taucht rechts 2 mal auf, also 2a2, -2×8,5a=-17a. 8,52 berechnen wir mit dem Taschenrechner. Wir erhalten +72,25. Von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren wir nun 42,25. Wir erhalten: 0=2a2-17a+30. Wir teilen diese Gleichung durch 2. Schließlich erhalten wir: 0=a2-8,5a+15. Das ist die Normalform einer quadratischen Gleichung. Die pq-Formel dafür lautet: a1,2=-(p/2)±\sqrt((p/2)2-q). Die benötigten Größen sind -8,5 und 15. p=-8,5 und q=15. Wir rechnen: a1,2=4,25±\sqrt(4,252-15). Oben geht es weiter: a1,2=4,25±\sqrt4,252 - rechnen wir mit dem Taschenrechner. Unter der Wurzel erhalten wir 18,0625-15. Und weiter: a1,2=4,25±\sqrt3,0625. Die Wurzel berechnen wir wieder mit dem Taschenrechner. Wir erhalten: a1,2=4,25±1,75 Das ergibt nun: a1=4,25+1,75=6 Die 2. Lösung: a2=4,25-1,75=2,5 Somit erhalten wir für a 2 Lösungen. a1=6cm und a2=2,5cm. Die Berechnung von a ist abgeschlossen. Wir berechnen b durch Benutzung der Gleichung 1. b1=8,5-6=2,5. b2=8,5-2,5=6. Somit haben wir auch b berechnet. Wir haben erhalten: b1=2,5cm und b2=6cm. Somit ergibt sich als Lösungsmenge 6cm und 2,5cm. Die Seiten des Rechtecks betragen 6cm und 2,5cm. Dabei ist es egal, welche der beiden Seiten a und welche b heißt. Ich danke für eure Aufmerksamkeit. Alles Gute, auf Wiedersehen.

Informationen zum Video