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Transkript Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (1)

Hallo! Wenn du quadratische Gleichungen behandelst, dann kann dir Folgendes passieren. Eine Gleichung der Form, oder die Gleichung 2x2+8x+6=0, und diese Gleichung, oder Gleichungen dieser Form nennt man allgemeine quadratische Gleichung, weil nämlich hier vor dem x2 auch noch eine Zahl steht. Also eine Zahl <>1. Normalerweise, wenn da nichts steht, kann man sich ja vorstellen, dass da eine 1 steht. Aber die wird ja normalerweise weggelassen. Also, hier steht keine 1, das ist eine allgemeine quadratische Gleichung. Und die möchten wir jetzt mit der p-q-Formel lösen, bzw. ich möchte, dass du das möchtest. Und zwar können wir uns da Folgendes überlegen. Die p-q-Formel gilt ja für Gleichungen, die diese Form hier haben: x2+px+q=0, das heißt, vor dem x2 steht nichts bzw. diese gedachte 1, 1×x2, aber eben keine andere Zahl. Plus eine Zahl ×x+ eine Zahl=0. So, und das haben wir hier fast, bis auf diese 2 hier vorne, da müssen wir uns drum kümmern. Was kann man da machen? Ja, da muss man einfach die Idee haben. Ich sag sie jetzt einfach: geteilt durch 2. Wir teilen durch die Zahl, die vor dem x2 steht. Natürlich teilen wir die gesamte Gleichung, sonst ist es ja keine Äquivalenzumformung. Äquivalenzumformung kennst du vielleicht noch. Hat mit Gleichungen zu tun, sage ich gleich noch was zu. Wenn wir hier eine Summe teilen, durch 2, dann müssen wir hier jeden Summanden teilen, das bedeutet, 2x2 müssen wir durch 2 teilen. Das ist 1 x2, oder schlicht und ergreifend x2. Plus 8x/2=4x. Und 6/2=3. Und die rechte Seite muss ich natürlich auch durch 2 teilen, aber 0/2=0, da ändert sich nichts. Jetzt hab ich also eine Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat, das ist ja der Sinn der Äquivalenzumformung, bedeutet also, wenn ich diese Gleichung in eine andere Gleichung umforme, dann erhalte ich eine neue Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat und das wiederum bedeutet, wenn ich hier eine Zahl einsetze, und die Gleichung richtig ist, dann kann ich das hier in die obere Gleichung auch einsetzen. Dieselbe Zahl kann ich hier einsetzen, dann ist die auch richtig. Immer wenn die Gleichung falsch ist, das heißt, wenn ich hier Zahlen einsetze, sodass die Gleichung falsch ist, dann ist die hier oben auch falsch. Also, ich kann einfach die untere Gleichung lösen und weiß dann auch, was ich in die obere Gleichung einsetzen kann, damit sie richtig wird. Das ist der Sinn der Äquivalenzumformung, und jetzt muss ich einfach nur noch kucken und feststellen, dass jetzt die neue Gleichung, die ich erhalten habe, diese Form hat. Sie hat die Form x2+px+q, denn wenn ich hier für p 4 einsetze und für q 3 einsetze, dann steht ja genau diese Gleichung, die hier steht. Also, vor dem x steht nichts, da kommt ein Pluszeichen, eine Zahl, ein x, ein Pluszeichen, eine weitere Zahl, ein Gleichheitszeichen und die 0, das ist die Form, die haben wir hier. Und deshalb können wir die p-q-Formel anwenden, indem wir nämlich überall da, wo in der p-q-Formel ein p steht, jetzt die 4 einsetzen, diese 4. Und da, wo das q steht, da normalerweise setzen wir jetzt die 3 ein. So, und dann kann man das ausrechnen. Und das zeig ich dann im 2. Teil. Bis dahin. Viel Spaß! Tschüss!

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