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Transkript Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a < 0

Hallo. Ich möchte hier einmal ein paar Ergebnisse aus ein paar Filmen zusammenfassen. Wir haben Folgendes gemacht: Wir haben Funktionen betrachtet mit den Funktionsgleichungen y = ax2, also das x wird quadriert, das a nicht, und dabei war a < 0. Das war unsere Situation und dazu haben wir Funktionsgraphen gezeichnet, z. B. den Funktionsgraphen der Funktion mit der Gleichung y = -0,5×x2. Der sieht so aus. Dann haben wir noch einen anderen Funktionsgraphen gezeichnet, nämlich den hier. Der gehört zu der Funktion mit der Funktionsgleichung y = -2×x2. So jetzt kommt das Beste wieder, das Glattstreichen. Ohne das Glattstreichen würde es nur die Hälfte an Spaß machen. Egal. Dann hatten wir einen Funktionsgraphen der Funktion mit der Funktionsgleichung y = -1×x2 und der sieht so aus. Auch den kann man glatt streichen. So, schöner wird es nicht. Wir haben festgestellt, dass der Funktionsgraph mit der Funktionsgleichung y = -0,5×x2 breiter ist als die Normalparabel. Das ist diese Normalparabel, die jetzt nach unten geöffnet ist. Und wir haben auch festgestellt, dass der Funktionsgraph mit der Funktionsgleichung y = -2×x2 schmaler ist. Diese Ergebnisse möchte ich hier einmal zusammenfassen und das auch gleich verallgemeinern. Das mit dem Verallgemeinern ist jetzt ein bisschen schnell, das gebe ich zu, aber es ist auch kein weiterer Beweis erforderlich, um diese Ergebnisse nutzen zu können. Du wirst das feststellen, wenn du das ausrechnest, du könntest ja z. B. statt -0,5×x2 auch -0,1 nehmen oder noch kleinere Zahlen, also Zahlen die näher an 0 sind meine ich natürlich. Dann würde dieser Funktionsgraph immer breiter werden. Je weiter die Zahl zur 0 kommt, desto breiter wird der Funktionsgraph. Und du kannst auch andere Zahlen nehmen, die also kleiner als -1 sind, z. B. -2, -3, -4, die also immer kleiner werden, immer weiter nach links gehen. Kleiner werden bedeutet ja, immer weiter nach links gehen. Und dann würde dieser Funktionsgraph auch immer schmaler werden oder die Funktionsgraphen, die du dann erhältst, natürlich. Ich würde das so stehen lassen als eine Verallgemeinerung einer Rechentatsache. Da kann man sich darüber streiten, was der eigentliche Beweis dafür ist. Ich würde sagen, für die Schulmathematik reicht das auch so. Das möchte ich also hier einmal zusammenfassen: Wenn a < -1 ist, d.h. z. B. -1,1 oder -1,2 oder -15 oder -1128, dann folgt, dass der Funktionsgraph nach unten geöffnet ist. Das möchte ich mal so aufschreiben: ?; und er ist schmal, also schmaler als die Normalparabel. Falls a = -1 ist, dann ist der Funktionsgraph auch nach unten geöffnet und er ist eine Normalparabel, obwohl man da streiten kann, ist eine Normalparabel nicht nur die Parabel, die nach oben geöffnet ist, oder ist eine Normalparabel auch ein nach unten geöffneter Funktionsgraph, der ansonsten aber die gleiche Form hat, wie die Normalparabel. Ich möchte mich jetzt nicht darauf einlassen. Ich schreibe es jetzt so hin. Ich glaube, du weißt, was gemeint ist. Es könnte außerdem a zwischen 0 und -1 liegen, das schreibt man so auf: 0 > a > -1. Null ist größer als a und a ist größer als -1, auch das ist möglich. Wenn a > -1 ist, dann ist a nicht -2, dann ist a z. B. -0,5, denn -0,5 liegt rechts von -1, so ist es definiert, dann bedeutet es a > -1. Der Graph, der herauskommt, ist auch nach unten geöffnet und er ist breit. Das sind also die Ergebnisse, die wir hier zusammentragen können. Ich möchte dann noch zeigen, was passiert, wenn a > 0 ist. Bis dahin. Viel Spaß. Tschüss!  

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