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Transkript Quadratische Ergänzung – Aufgabe (3)

Hallo. Hier ist eine quadratische Gleichung, die es jetzt zu lösen gilt. Und zwar mithilfe der quadratischen Ergänzung. Die Gleichung lautet x2+5x-7=0. Und wie du jetzt im weiteren Verlauf feststellen wirst, werden wir ein paar Brüchen begegnen. Das kann passieren. Ja, denn wir möchten die quadratische Ergänzung machen und hier also die Hälfte dieser vorzahl von x nehmen. Dieses Ergebnis quadrieren. Also die Hälfte der Zahl quadrieren. Dieses Quadrat hinzuaddieren und gleichzeitig wieder abziehen. Zunächst möchte ich den Rest der Gleichung hier einfach abschreiben. Und dann erhalten wir hier x2+5x. Ja, die Hälfte von 5. Ich benutze Brüche dazu. Kein Problem. Die Hälfte von 5 ist 5/2. (5/2)2 soll dazu kommen. Wird addiert. Und auch gleichzeitig wieder abgezogen. (5/2)2-7=0. Den Rest schreibe ich wieder ab. Nun können wir eine binomische Formel anwenden. Nämlich die 1 binomische Formel. Rein zufällig liegt die dann schon mal hier. Wir können nämlich hier in diese 1. binomische Formel für x, also für das a, das a steht hier, also im roten Kästchen können wir x einsetzen. Und hier in Gelb können wir 5/2 einsetzen. Ja, das muss hier nicht unbedingt in Klammern gesetzt werden. Hier schon, damit man weiß, dass der ganze Bruch hier potenziert werden soll. Das haben wir jetzt erhalten. Und ich glaube du kannst sehen, dass diese 3 Summanden hier gleich den 3 Summanden sind. x2, 5x ist 2×x×5/2. Die 2 kürzt sich ja hier weg. Dann haben wir hier also auch 5x stehen. (5/2)2 steht hier. Deshalb kann man jetzt diese 3 Summanden hier, diese 3, diese 3, durch die hier ersetzen. Durch (x+5/2)2. Ja die Klammer muss hier nicht hin. Deshalb schreibe ich sie auch nicht. Hier wäre sie auch schon überflüssig gewesen. Oder ist sie auch. Nicht wäre, sondern ist sie. Nun. Ja das kann ich abschreiben. Bitteschön. Und dann erhalten wir hier Folgendes. (x+5/2)2. Und den Rest hier muss ich noch abschreiben. Das sind also -25/4. Ja, und aus der 7 muss ich jetzt auch noch Viertel machen. Wenn ich die beiden miteinander verrechnen möchte. Das sind ja 7 Ganze. Also -7 Ganze. Und die kann ich mit 4 erweitern. Dann kommen 28/4 heraus. Also -28/4. Und das ist =0. Oder das soll =0 sein. Und jetzt kann ich noch hier +, kann ich die beiden hier zusammenrechnen. -25/4-28/4=-53/4. Also rechne ich auf beiden Seiten +53/4. Kann man kaum erkennen, weil es so klein ist. Macht nichts. Auf beiden Seiten wird jetzt +53/4 gerechnet. Dann steht hier also (x+5/2)2-53/4=0. Und ich kann jetzt noch auf beiden Seiten +. Ach so, das habe ich ja schon gemacht. Entschuldigung. Noch mal. Also hier steht =53/4. So und jetzt möchte ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Das war der eigentliche Plan. Na ja. Aber wenn man was 2 Mal hinschreibt, ist es auch nicht so schlimm. Falsch ist es dadurch nicht. Wir erhalten 2 Gleichungen, wenn wir die Wurzel ziehen. Und zwar könnte x diese Gleichung erfüllen hier. x+5/2 könnte = Ja Wurzel aus 53. Da kann ich gleich aus Zähler und Nenner getrennt die Wurzel ziehen. Nicht wahr. Hier ist \sqrt53. \sqrt53 ist eine irrationale Zahl. Die kann ich nicht weiter hier hinschreiben. \sqrt4=2. Deshalb steht hier einfach \sqrt53/2. x kann also diese Gleichung erfüllen. Wenn x diese Gleichung hier erfüllt, ist die hier oben richtig. x könnte aber auch, das ist das Oder Zeichen, diese Gleichung erfüllen. x+5/2=-\sqrt53/2. Wenn x diese Gleichung hier erfüllt, ist diese Gleichung hier oben auch richtig. Und wenn die richtig ist, dann ist auch hier unsere Ausgangsgleichung richtig. Und jetzt kann ich hier noch auf beiden Seiten -5/2 rechnen. Und das Ergebnis jetzt noch anders hinschreiben. Viel tut sich jetzt nicht mehr.  Also x könnte sein =-5+\sqrt53/2. Das ist eine 3. Oder x könnte sein. x=-5-\sqrt53/2. Ja wenn hier Halbe stehen und da Halbe, dann kann man das ja auf einen Bruchstrich schreiben. Wenn die jetzt addiert werden. Also hier unten stehen die beiden Lösungen. Durch das Oder Zeichen getrennt. Kein Problem. Wenn du das einsetzt jeweils, dann ist hier obere Gleichung richtig. Und damit ist hier dieser Fall abgeschlossen. Viel Spaß damit. Bis bald, tschüs.

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2 Kommentare
  1. Felix

    @Mottekarotte: Entweder du löst die quadratische Gleichung mit der quadratische Ergänzung wie im Video oder du wendest die p-q-Formel an. Dafür ist p=5 und q=-7 sowie x=-5/2±Wurzel(53)/2. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor 7 Monaten
  2. Default

    Ich habe als Lösungen für x 0 und -5 ... Was habe ich falsch gemacht? :O

    Von Mottekarotte, vor 7 Monaten