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Transkript Punktprobe – Beispiel (2)

Hallo! Wenn wir wissen wollen, ob ein bestimmter Punkt in einer bestimmten Ebene liegt, dann müssen wir eine Punktprobe durchführen. Das heißt wir probieren, ob der Punkt da in der Ebene liegt. Dazu brauchen wir erst mal eine Ebene. Das hier ist eine Ebene in 3 verschiedenen Darstellungsweisen. Hier oben die Parameterform mit den Parametern λ und μ. Wenn du das nicht gewohnt bist mit den griechischen Buchstaben, dann denke dir hier bitte r und s oder was immer du da gewohnt bist, das ist egal, welche Buchstaben man da verwendet. Hier haben wir die normalen Formen der Ebene. Hier ist der Normalvektor, den Normalvektor kann man auch mit dieser Klammer tauschen, je nachdem, wie du das auch da so gewohnt bist, und hier unten dieselbe Ebene noch mal in Koordinatenform. Und wir haben einen Punkt gegeben, den ich hier gar nicht aufgeschrieben habe, sondern ich habe den Vektor aufgeschrieben, der vom Nullpunkt zu diesem Punkt hinführt, und das ist der Vektor mit den Koordinaten (10, -3, 10). Der Punkt hat dann die Koordinaten (10, -3, 10). Aber ich sag das deshalb, weil der Vektor eben kein Punkt ist, das muss man schon unterscheiden, aber wir brauchen hier den Vektor, um ihn nämlich jetzt hier einsetzen zu können. Und zwar kann man das zunächst machen in die Koordinatenform. Das ist das Einfachste, deshalb zeige ich das zuerst. Wir setzen für die erste Koordinate 10 ein, dann schreiben wir +3× hier diese zweite Koordinate, also -3, + dritte Koordinate, also 10, und das soll =11 sein. Wenn das der Fall ist, dann ist der Punkt mit den Koordinaten (10, -3, 10) ein Punkt dieser Ebene und, ich glaube, du kannst es nachrechnen, das stimmt. Es ist ein Punkt der Ebene. Wenn wir das in die normalen Formen einsetzen, müssen wir ein ganz Kleines bisschen mehr rechnen. Wir setzen für x diesen Vektor ein und schauen nach, ob das Skalarprodukt mit dem normalen Vektor dann =0 ist, und hier kommt der Vektor hin, (10, -3, 10) - dieser Vektor (4, 2, 1)=0, und das können wir schnell nachrechnen, indem wir nämlich die Differenz hier ausrechnen. Dann haben wir also 6, (-3-2) ist -5 und (10-1) ist 9, und wenn wir das hinschreiben in der Zeile, also das Skalarprodukt hier bilden, das ist ein bisschen klein geschrieben, das heißt (1, 3, 1), dann bekommen wir 6-15+9=0, das heißt, wir haben jetzt festgestellt, dass der Punkt mit den Koordinaten (10, -3, 10) ein Punkt der Ebene ist, die hier in Normalform aufgezeichnet ist. Bei der Parameterform ist das meiste zu tun. Wir möchten nämlich, dass es Zahlen gibt, die man für λ und μ einsetzen kann, sodass die Gleichung hier richtig ist. Hoffentlich passt es noch alles hin. Ich schreib das aber nur ab, was hier steht, also ich schreib jetzt hier einfach nur die Parameterform ab. Und das führt dann eben auf ein Gleichungssystem, was ich auch eben noch hier hinschreibe. Wir können den auf die andere Seite bringen natürlich gleich und dann schnell die Sache hier ausrechnen. Wir haben dann hier 6=4λ-2μ und wenn wir das auf die andere Seite bringen haben wir -5=-2λ-μ und das geht grade noch hin 9, ja 10-1=2λ+5μ. Ich halte es noch mal schön in die Kamera, falls du das jetzt mitschreiben möchtest und nachrechnen möchtest. So ungefähr müsste das dann aussehen. Dann müssen wir hier dieses Gleichungssystem ein bisschen umformen. Zum Beispiel könnten wir die zweite Gleichung zur dritten Gleichung addieren. Dann verschwindet λ und wir hätten 4, wenn wir die beiden addieren haben wir 4. λ ist dann nicht mehr da, weil die beiden zusammen 0 ergeben. -μ+5μ sind 4μ und daraus folgt, dass μ=1 sein muss. Wenn wir μ=1 zum Beispiel hier in die zweite Gleichung einsetzen, dann erhalten wir hier eine 1 und dann können wir dann +1 rechnen auf beiden Seiten. Dann steht hier -4=-2λ, und darauf folgt, dass λ=2 ist, μ=1 und λ=2. Wenn wir das jetzt hier in die erste Gleichung einsetzen, sehen wir, dass hier dann steht 4×2, das ist 8, -2×1=6. Das ist das Ergebnis, was hier auch steht, und damit haben wir jetzt festgestellt, dass μ=1 und λ=2 geeignete Zahlen sind, die man hier einsetzen kann, sodass diese obere Gleichung hier richtig ist, und damit ist also der Punkt (10, -3, 10) ein Punkt dieser Ebene. Das sind die 3 möglichen Punktproben. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    vielen Dank das war sehr Hilfreich :)

    Von Dermegabioloosser, vor etwa 6 Jahren