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Transkript Produktregel – Beispiel (2)

Hallo, hier ist eine Funktion, die Du nach der Produktregel ableiten kannst. Sie lautet: f(x)=\sqrtx/x und da denkt sich mancher: "Das ist doch ein Quotient? Das ist doch gar kein Produkt!". Also im Wunderland der Mathematik kann man vieles ändern, variieren und zum Beispiel kannst Du jeden Bruch als Produkt schreiben. Ein Bruch besteht ja aus Zähler geteilt durch Nenner. Du kannst einfach schreiben Zähler×1/Nenner, ist immer das Gleiche, jeder Bruch und jeder Quotient ist eben dann auch ein Produkt. So geht das hier auch:/sqrt(1)×1/x ist die gleiche Funktion und ist ein ergebnisgleicher Term. Wir müssen uns Gedanken machen über den Definitionsbereich, damit wir hinter her unbeschwert umformen können. Da es sich hier um eine Wurzel handelt und wir uns innerhalb der reellen Zahlen befinden und wir wissen, dass Wurzeln innerhalb der reellen Zahlen nur für nicht negative Zahlen definiert sind, fallen hier schon einmal alle negativen Zahlen raus für den Definitionsbereich. Außerdem fällt 0 raus, denn durch 0 können wir nicht teilen. Daher ergibt sich der Definitionsbereich als alle positiven reellen Zahlen: D=R+ Hier siehst du die Produktregel der Differenzialrechnung, also die Funktionen u×v, also u und v stehen dabei jeweils für Funktionen, kurz u×v soll abgeleitet werden und das ist dann gleich u'×v+u×v'. Das u von x und das v von x habe ich hier weggelassen, zwecks der besseren Übersichtlichkeit. In der Regel wird es sowieso weggelassen in Mathematikbüchern. So, dann kann man hier also für u die /sqrt(x) einsetzen, für v kann man 1/x einsetzen und dann müssen wir hier also u ableiten und wie ich im ersten Beispiel schon gezeigt habe, ist die Ableitung aus /sqrt(x)=1/2×/sqrt(x). Das zeige ich jetzt nicht noch einmal, wenn Du dir unsicher bist, da kannst Du beim ersten Beispiel nachgucken. V müssen wir einfach abschreiben. Das ist also 1/x, das + dazu schreiben, immer sehr genau sein und dann haben wir noch u, das müssen wir auch abschreiben, u ist ja gleich /sqrt(x). Dann kommt noch v', wenn wir 1/x ableiten, wissen wir ja, das können wir nach Potenzregel machen, 1/x=x^-1. Da setzen wir in die Potenzregel für n die -1 ein und wir erhalten als Ableitung von x^-1, das ist dann (-1)×x^-2. Das kann man natürlich noch umformen und zwar folgendermaßen: Wir haben hier ein Produkt stehen, das heißt, zwei Brüche werden miteinander multipliziert, das geht mit Zähler×Zähler und Nenner×Nenner. Im Zähler haben wir die 1 und 2×/sqrt(x)×x. Das kann man sich so vorstellen, /sqrt(x)=x^½, x=x1, x1=x2/2, also x^½×x2/2, da muss man nur die Exponenten addieren, ist x3/2. Das ist hier also im Nenner passiert: 2×x3/2, ist der Nenner, der hier herauskommt. Und dann haben wir hier noch Minus - das habe ich natürlich hier hingeschrieben, dieses ×(-1), /sqrt(x)/x². Und das hier kann man auch noch umformen - das hier habe ich eigentlich abgeschrieben, im Wesentlichen -, das kann man also hier  /sqrt(x)/x² umformen zu 1/x3/2. Warum geht das? Ich zeige dafür kurz die Nebenrechnung, wenn Du das nicht sehen willst, kannst Du einfach an einer späteren Stelle des Films weitergucken. Also hier habe ich mal die Umformung vorbereitet. Wir haben /sqrtx/x² und wir wissen, dass x²=x4/2 ist. Wir können ja hier zwei Ganze hinschreiben und die erweitern mit 2, ganz einfache Bruchrechnung. Also haben wir hier /sqrt(x)/x4/2, x4/2 kann man einfach nach der Potenzrechnung, die du früher gemacht hast, schreiben als x^½×x3/2. Wenn man die Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, addieren sich einfach die Exponenten. Umgekehrt kann man einen Exponenten auch als Summe schreiben und dann hier die Multiplikation, also das Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis erhalten. Hast du früher mal gelernt, hier kommt das wieder alles zur Anwendung. x^½ ist ja das gleiche wie /sqrt(x) und deshalb kann man hier einmal /sqrt(x) kürzen, beziehungsweise einmal x^½ kürzen, dann bleibt 1 im Nenner stehen und x3/2 steht dann noch im Zähler. Das dazu. Warum habe ich das hier so komisch geschrieben? Warum als ½×1/x3/2? Warum habe ich das als 2 Brüche geschrieben? Weil es deutlich macht, wie man hier jetzt weiter vorgehen kann. Wir haben also hier 1/x3/2 und zwar nur die Hälfte davon, denn ½ mal dieses Zeugs hier heißt ja "die Hälfte von". Wenn wir also die Hälfte von 1/x3/2 haben und ein ganzes 1/x3/2 abziehen, dann haben wir Minus die Hälfte des Ganzen und das steht hier: Minus die Hälfte von 1/x3/2. Und das lässt man so meistens nicht stehen, weil die vertikale Ausdehnung der Schrift dann doch ganz erheblich ist. Man schreibt: -½×x^-3/2. Naja, man könnte es auch so stehen lassen. Das ist eigentlich egal, da diskutiere ich nicht drüber. Das ist auch ein Beispiel, was wir hier haben. Also dieses. Das können wir auch anders ableiten, nämlich so. Wir wissen das /sqrt(x)/x=x/-½ ist, denn x=x1 und x1=x2/2, das bedeutet x=/sqrt(x)×/sqrt(x). Allerdings nur für nicht negative Zahlen die man für x einsetzt und da wir hier teilen, können wir 0 auch nicht einsetzen. Also es geht hier sowieso nur um positive Zahlen, deshalb können wir einfach statt x auch /sqrt(x)×/sqrt(x) schreiben. 1×/sqrt(x) kann man dann kürzen. /sqrt(x) bleibt dann im Nenner stehen und 1/sqrt(x) ist nichts anderes als x^-½. Wenn wir das ableiten wollen, können wir die Potenzregel verwenden. Für n setzen wir -½ ein, das habe ich hier gemacht. n steht auch hier vorne dann als -½x^-½-1. -½×-1 ist natürlich -3/2. Das weißt du, das ist Bruchrechnung. Also kommt hier als Ableitung, das kann ich auch noch hinschreiben: f'(x)=-½×x^-3/2. Auch hier kommen wir zum gleichen Ergebnis wie da. Es ist gleich auf jeden Fall und das ist wieder eine gute Anwendung der Produktregel, weil Du das hier auch mit der Potenzregel wieder überprüfen kannst, ob Du da richtig gerechnet hast. Ja, das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss!

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