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Transkript pq-Formel für quadratische Gleichungen

Hallo! Hier ist eine quadratische Gleichung, und die soll jetzt mal mithilfe der pq-Formel gelöst werden. Hier siehst du die pq-Formel, und die quadratische Gleichung lautet: -7x2+42x+280=0 Wir können eine quadratische Gleichung lösen, wenn sie diese Form hat, in dieser Form muss sie vorliegen, dann können wir sie lösen. Und diese Form ist so zu verstehen, ich fang mal hier rechts an. Die rechte Seite dieser quadratischen Gleichung soll 0 sein. Das ist hier bei unserer quadratischen Gleichung der Fall. Dann das Gleichheitszeichen. Danach haben wir als letzten Summanden hier auf der linken Seite eine Zahl, dafür steht das q, irgendeine Zahl, die darf auch negativ sein. Bei unserer Gleichung ist es hier die 280, das ist ok. Hier soll ein Term stehen der Form, Zahl×x, das p steht wieder für irgendeine Zahl, ist auch ganz egal, welche das ist, die darf auch negativ sein. Hier haben wir bei dieser konkreten Gleichung 42×x. Das ist auch in Ordnung. Am Anfang der linken Seite soll 1×x2 stehen. Dazu ist zu sagen, dass man meistens die 1 nicht hinschreibt. Du weißt, 1×x2=x2. Wenn man mit 1 multipliziert, ändert sich der Wert nicht, und deshalb wische ich die einfach hier weg. Hier steht die Normalform, und wenn eine Gleichung in Normalform vorliegt, kann man einfach die pq-Formel anwenden. Nun, und bei unserer Gleichung ist das nicht der Fall, denn hier steht nicht eine 1 vorne, und auch nicht gar nichts, sondern es steht -7 da. Was können wir da machen? Wir können die gesamte Gleichung durch -7 teilen, denn -7/-7=1, und die 1 kann man dann wieder weglassen. Also, wenn ich die ganze Gleichung hier durch -7 teile, dann steht hier als 1. Summand x2, als Nächstes muss ich 42/-7 teilen, das ist -6, also -6x, und die 280 wir auch noch durch -7 geteilt, 28/7=4, 280/7=40 und 280/-7=-40. Wenn ich die 0/-7 teile, bleibt das 0 und deshalb steht hier die 0. Und jetzt sehe ich also, dass diese Gleichung hier die Normalform hat. Dabei ist -6=p und -40=q. Und dann kann ich einfach die pq-Formel hier verwenden, indem ich nämlich für p etwas einsetze, und zwar das, wofür hier p steht, nämlich -6. Und wichtig ist hierbei, dass du bemerkst, vor diesem Term, der gerade noch p/2 hieß, steht ein Minuszeichen. Es heißt -(p/2), und wenn dieses p hier, diese Vorzahl vor dem x, -6 ist, musst du auch tatsächlich -6 einsetzen, da kommt es oft zu Fehlern, weil man meint, da steht ja schon ein Minuszeichen, dann spar ich mir das. Nein, nein, es muss also wirklich dann auch, wenn p=-6 ist, hier -6 eingesetzt werden. Hier ebenso, da schreib ich auch -6 hin. Das Ganze wird zwar quadriert, dann wär´s, also -×-=+, dann wär´s nicht so schlimm, aber wenn du einfach weißt, was ist das p, dann kannst du einfach das, was für p steht, einfach einsetzen, und dann ist die Formel immer richtig. Und auch richtig angewendet. Ebenso geht es hier mit dem q. Das q ist bei uns -40, und obwohl hier ein Minuszeichen steht kannst du nicht sagen: „Ja, das spar ich mir dann, ich schreib nur 40 hin.“. Nein, nein, du musst schon -40 hier hinschreiben und eine Klammer da drumsetzen denn es sollen keine 2 Rechenzeichen nebeneinander stehen, und so steht denn dann hier am Ende also -40. Und das kann man jetzt ganz einfach ausrechnen. Und das geht so: Wir wissen, x1,2=-(-6/2), -×-=+, 6/2=3, also darf ich hier eine 3 hinschreiben. 3±\?, ja, aus was eigentlich? Wir konzentrieren uns hier auf diese Klammer. Da steht -6/2=-3, -32=9. Hier steht jetzt -(-40). -×-=+, das ist also +40, im Ganzen steht hier also 9+40=49, und ?49=7. Und deshalb kann man hier auch einfach die 7 hinschreiben. Daraus ergibt sich, dass x1 = 3+7 ist, das ist 10, und x2=3-7=-4. Und das sind die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung. Das heißt, wenn ich hier für x 10 einsetze, oder auch -4 einsetze, dann ist die Gleichung richtig. Jetzt kann sich noch etwas anderes ergeben. Nämlich das wir keine 2 Lösungen haben. Und das ist dann der Fall, wenn das, was unter der Wurzel steht, nicht positiv ist. Zum Beispiel, wenn wir die Gleichung haben: x2-6x+40=0, dann müsste man hier für das q=40 einsetzen, und nicht -40. Dann steht da also 40 und hier steht weiterhin -6. -6/2=-3. -32=9. 9-40 ist auf jeden Fall eine negative Zahl, und im reellen Zahlenraum, wo wir uns ja befinden, kann man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen. Deshalb ist hier keine Lösung in Sicht, die Lösungsmenge bleibt leer, weil eben hier die Diskriminante, also das was hier unter der Wurzel steht, das heißt Diskriminante, diese ist kleiner als 0, und dann gibt es keine Lösung. Eine andere Möglichkeit ist noch diese Gleichung: x2-6x+9=0. Dann kann ich die pq-Formel verwenden, wie sie hier steht, nur muss ich jetzt, statt 40, 9 einsetzen. Und wir wissen schon, -32=9. Unter der Wurzel würde dann stehen 9-9, die Diskriminante ist 0, und dann gibt es nur 1 Lösung. Die einzige Lösung ist dann -(-6/2), das ist also +3, und diese Gleichung hat dann eben nicht 2 Lösungen, sondern nur 1. In diesem Falle ist dann die Lösung gleich 3. Das war´s zur pq-Formel. Viel Spaß damit, tschüss!

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19 Kommentare
  1. Default

    sehr gutes Video.
    hat mir sehr geholfen

    Von Cornelia Haas73, vor 2 Monaten
  2. 6822694 master chief wallpaper

    Sehr gut erklärt :D

    Von Matthew M., vor 2 Monaten
  3. Default

    Sehr, sehr gut erklärt

    Von Ulrich Pulkowski 1, vor 5 Monaten
  4. Default

    danke für die gute Erklärung!!!

    Von Maddyiie, vor 7 Monaten
  5. Default

    6 Jahre später... :0
    aber sehr gut erklärt

    Von Mononikita, vor 9 Monaten
  1. Default

    Dankeschön :)
    Hat mir sehr geholfen

    Von Olivia Bloom, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    super gut erklärt :)

    Von Lauratroeger71, vor mehr als 2 Jahren
  3. Giuliano test

    @Meinekatzelilli:
    Genau. Dann muss man auch durch 7 teilen. Allgemein teilt man die Gleichung zuerst durch den Vorfaktor von x.
    Durch die Teilung der Gleichung mit dem Vorfaktor erhält man eine Gleichung, bei der vor dem x eine 1 steht. So kann man dann erst die p-q-Formel anwenden.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  4. Cf2

    Das war nicht mit Absicht so oft gesendet :D meine Internet ist langsam und da seh ich das nicht ob es gesendet wurde!

    Von Meinekatzelilli, vor mehr als 2 Jahren
  5. Cf2

    Und wenn die 7 positiv ist (also 7x^2+42x+280=0) muss man dann auch alle Zahlen durch 7 teilen oder ist das nur bei Minus so?

    Von Meinekatzelilli, vor mehr als 2 Jahren
  6. Cf2

    Und wenn die 7 positiv ist (also 7x^2+42x+280=0) muss man dann auch alle Zahlen durch 7 teilen oder ist das nur bei Minus so?

    Von Meinekatzelilli, vor mehr als 2 Jahren
  7. Cf2

    Und wenn die 7 positiv ist (also 7x^2+42x+280=0) muss man dann auch alle Zahlen durch 7 teilen oder ist das nur bei Minus so?

    Von Meinekatzelilli, vor mehr als 2 Jahren
  8. Default

    Perfekt erklärt, danke dafür :)

    Von Deleted User 111167, vor etwa 3 Jahren
  9. Default

    juhuuuuuuuuuu!!!! hab´s verstanden:D
    unsere Mathelehrer hat uns das 5 Minuten vor dem klingeln erklärt und dann hab ich das nicht wirklich verstanden.

    danke schön

    Von Leoni Knipp, vor etwa 3 Jahren
  10. Default

    @Rosana:

    Bei 5x^2-80=0 kannst Du +0x ergänzen. +0x wird dann q. Aber erst muss Du noch die Gleichung durch 5 teilen, bevor Du in die Formel einsetzen kannst.

    Bei den anderen Beispielen genauso.

    Bei 4x^2-9=0 musst Du durch 4 teilen. -9/4 musst Du dann genau so in die Formel einsetzen (oder als Dezimalzahl).

    Von Anselm Meyer, vor fast 4 Jahren
  11. Default

    und was wäre wenn:
    5x^2-80=0
    32x^2+75=0
    4x^2-9=0
    50x^2-2=0

    Von Rosana, vor etwa 4 Jahren
  12. Default

    Danke!War sehr hilfreich! weiter so..!

    Von Elkeilo, vor mehr als 4 Jahren
  13. Photo 00033

    einfach wieder super!

    Von Bernadette W., vor fast 5 Jahren
  14. Dog

    Danke schön!Gut erklärt!

    Von Crazy D., vor mehr als 6 Jahren
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