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Transkript Potenzgleichungen – Übungsaufgaben

Hallo, schön, dass du mal wieder da bist. Heute wollen wir ein Paar Übungsaufgaben zu Potenzgleichungen rechnen. Wie du sicherlich noch weißt, können Potenzgleichungen unterschiedlich viele Lösungen besitzen. Dies wollen wir zunächst noch einmal an verschiedenen Beispielen betrachten.

Die Anzahl der Lösungen einer einer Potenz x hoch n immer abhängig vom Exponenten n. Ist der Exponent gerade, so kann es zwei Lösungen oder gar keine Lösung geben. Ist der Exponent ungerade, so gibt es genau eine Lösung. Hast du diese Merkregel verinnerlicht, dann können wir uns nun an die fünf Beispiele wagen, die ich zur Übung vorbereitet habe.

Beispielaufgabe 1

5 mal x hoch 2 gleich 5. Da die Potenz x hoch 2 einen geraden Exponenten hat, kann ich dir schon jetzt sagen: Diese Gleichung hat zwei Lösungen.

Nun lösen wir die Gleichung aber erst einmal. Zunächst dividieren wir die Gleichung auf beiden Seiten durch 5 und erhalten x hoch 2 gleich 1. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel und erhalten als Lösung x gleich plus minus 1. Wir erhalten also zwei Lösungen.

Wir machen nun die Probe und setzen x=1 in die Gleichung ein. 5 mal 1 hoch 2 gleich 5 mal 1 gleich 5. Richtig Setzen wir minus eins ein, so erhalten wir dasselbe Ergebnis. Denn 5 mal -1 in Klammern hoch 2 ist gleich 5 mal 1 gleich 5. Also haben wir richtig gerechnet.

Beispielaufgabe 2

0,5 mal x hoch 3 gleich minus 108. Hier ist der Exponent der Potenz x hoch drei ungerade, dass heißt wir werden nur eine Lösung für die Gleichung erhalten.

Hierfür dividieren wir zunächst die Gleichung auf beiden Seiten durch 0,5. Das ist dasselbe wie die Multiplikation auf beiden Seiten mit 2. Wir erhalten x hoch 3 gleich minus 216. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die dritte Wurzel. Mit dem Taschenrechner berechnen wir als Lösung: x gleich minus 6.

Jetzt die Probe: 0,5 mal -6 in Klammern hoch 3 ist gleich 0,5 mal -218 in Klammern gleich -108. Richtig.

Beispielaufgabe 3

7 mal x hoch 4 gleich minus 70.000.

Zunächst dividieren wir die Gleichung auf beiden Seiten durch 7 und erhalten x hoch 4 gleich minus 10.000. Nun müssen wir auf beiden Seiten die vierte Wurzel ziehen, aber halt, das geht doch gar nicht, da der Radikand auf der rechten Seite, das heißt die Zahl unter der Wurzel, minus 10.000 ist. Und dies haben wir bei geraden Exponenten nicht definiert. Wir erhalten also keine Lösung. Die Lösungsmenge ist die leere Menge.

Beispielaufgabe 4

7 mal x hoch 5 gleich minus 700.000.

Zunächst dividieren wir die Gleichung auf beiden Seiten durch 7 und erhalten x hoch 5 gleich minus 100.000. Nun müssen wir auf beiden Seiten die fünfte Wurzel ziehen. das ist dieses Mal möglich, da wir es mit einem ungeraden Exponenten zu tun haben. Wir erhalten mit dem Taschenrechner x gleich - 10.

Jetzt wieder die Probe: 7 mal -10 in Klammern hoch 5 ist gleich 7 mal -100.000 in Klammern gleich -700.000. Das stimmt Ergebnis stimmt überein.

Beispielaufgabe 5

So, wir kommen zu unserem letzten Beispiel: 3 mal x hoch 2 plus 100 gleich 10 mal x hoch 2 minus 75.

Zunächst subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung 3 mal x hoch 2 und erhalten 100 gleich 7 mal x hoch 2 minus 75. Nun addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung 75 und erhalten 175 gleich 7 mal x hoch 2. Jetzt wird auf beiden Seiten der Gleichung durch 7 dividiert. Wir erhalten 25 gleich x hoch 2. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel und das Ergebnis steht da, x gleich plus minus 5.

Zuletzt wieder die Probe: Wir setzen x=5 in die Gleichung ein: 3 mal 5 hoch 2 + 100 = 10 mal 5 hoch 2 minus 75. Auf der linken Seite erhalten wir 3 mal 25 + 100 und auf der rechten Seite 10 mal 25 minus 75. Das ergibt: 75 + 100 = 250 - 75. Beide Seiten ergeben 175 und sind damit ergebnisgleich. Unser Ergebnis x=5 stimmt also.

Dasselbe gilt für unser Ergebnis x=-5. Würden wir x=-5 in die Gleichung einsetzen erhielten wir diesselbe Rechnung. Denn -5 hoch 2 ist genauso wie 5 hoch 2 gleich 25.

So das war es mal wieder für heute. An den Beispielen hast du gelernt, wie du Potenzgleichungen lösen kannst. Außerdem kannst du nun mit einem Blick auf den Exponenten einschätzen, wie viele Lösungen die Gleichung besitzen könnte. Ich wünsche dir noch einen schönen und erlebnisreichen Tag!

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2 Kommentare
  1. Felix

    @Maas0804: Ob du die Wurzel aus der Wurzel ziehen kannst, hängt davon ob die Wurzel ungerade ist oder nicht. Ein Beispiel: Die 3-te Wurzel aus -64 kannst du ziehen und ergibt -4, denn (-4)^3=-64.
    Die 2-te Wurzel aus -64 kannst du hingegen nicht ziehen, denn eine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt immer eine nichtnegative Zahl.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der täglich von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
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    hä ich verstehe nicht..bei dem einem konnte man die wurzel ziehen obwohl es negativ war un bei dem andren nicht.?!

    Von Li Don De M., vor mehr als einem Jahr