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Transkript Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften

Hallo, in diesem Video geht es um eine bestimmte Art von Potenzfunktion, von denen ihr bestimmt alle schon mal etwas gehört habt, nämlich um die Parabeln. Das sind erst mal Potenzfunktionen. Potenzfunktionen ordnen jeder Zahl eine Potenz dieser Zahl zu. Also dem Wert x wird zum Beispiel x² zugeordnet oder x3 oder x4 und so weiter. Ich habe hier mal ein paar Beispiele. Und wenn die Hochzahl eine natürliche Zahl ist, dann spricht man eben von einer Parabel. Und es ist sinnvoll die Parabeln zu unterteilen, nach geraden und ungeraden Exponenten. Und wir werden auch gleich sehen warum. Wir schauen uns nämlich mal die Graphen der Funktionen an. Links nehmen wir die mit geradem Exponenten und rechts die mit ungeraden Exponenten. Fangen wir an mit der Parabel f(x) = x², die geht durch die Punkte 1 und 1, -1 und 1, 0 und 0, 2 und 4 und -2 und 4. Also sieht so der Graph aus. Der Graph der Parabel 4ten Grades verläuft ein bisschen steiler, zwischen 1- und 1 liegt er unterhalb der Normalparabel x² und außerhalb des Intervalls -1 und 1 liegt er oberhalb der Normalparabel. Das setzt sich dann bei x6 so fort. Je größer die Hochzahl ist, desto steiler wird der Graph. Der Graph der Parabel x3 geht durch den Ursprung, durch den Punkt -1 und -1, und durch den Punkt 1 und 1. Und hier ist der linke Arm der Parabel quasi nach unten geklappt. Weil -×-×-, (-)3, immer Minus ergibt. Also negative Zahlen haben auch einen negativen Funktionswert. Der Graph von x5 geht auch durch den Ursprung, den Punkt 1 und 1 und den Punkt -1 und -1. Und verläuft ein bisschen steiler als der von x3. Das heißt im Intervall -1 und 1 ist er auch wieder näher an der x Achse dran und außerhalb dieses Intervalls ist er weiter von der x Achse weg. Und der Graph von x7 ist natürlich noch steiler. Okay. Und wir wollen uns jetzt von diesen Funktionen ein paar typische Eigenschaften anschauen. Nämlich Definitionen zum Wertebereich, Symmetrie und Monotonie. So und die Terme x² und x4 und so weiter kann ich jede Zahl einsetzen, die ich will, deswegen gehören alle reellen Zahlen zum Definitionsbereich. Die Funktionswerte sind aber alle positiv, weil ja bei geraden Exponenten keine negative Zahl rauskommen kann. Das heißt die positiven reellen Zahlen und die 0 sind der Wertebereich. In diese Terme hier kann ich auch jede reelle Zahl einsetzen und hier erhalte ich positive und negative Funktionswerte. Also ist ganz R der Wertebereich. Die Parabeln mit gerader Ordnung sind alle achsensymmetrisch und die mit ungerader Ordnung sind alle punktsymmetrisch zum Ursprung. Die geraden Parabeln sind außerdem monoton fallend, für negative x Werte und monoton steigend für positive x Werte. Die ungeraden Parabeln die sind über einem Definitionsbereich monoton steigend. So jetzt fassen wir noch einmal zusammen. Die Parabeln n-ter Ordnung sind also Potenzfunktionen, bei denen der Exponent n eine natürliche Zahl ist. Das hier waren unsere Beispiele. Und die Funktion f(x) = x² heißt Normalparabel. Außerdem gehen alle Parabeln n-ter Ordnung durch den Ursprung und durch den Punkt 1 und 1. Das sieht man hier auch an den Graphen. Okay, da sind wir schon am Ende des Videos angelangt und beim nächsten Mal geht es um Potenzfunktionen, bei denen die Hochzahl eine negative ganze Zahl ist. Die heißen dann Hyperbeln. Bis dahin.

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24 Kommentare
  1. Default

    Danke für das Video :) War sehr hilfreich.

    Von J Pusse, vor 18 Tagen
  2. Sava

    Hallo ihr Mathematiker Xd

    Von Serhat B., vor 8 Monaten
  3. Bewerbungsfoto

    Entschuldige, ich meine natürlich "Georgina"!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Georgia,

    ja, du kannst dir auch eine Wertetabelle anlegen und die Wertepaare dann als Punkte in das Koordinatensystem einzeichnen. Die Form einer Parabel sollte man aber irgendwann quasi aus dem Kopf wissen, ohne dass man sich eine Wertetabelle zeichnen muss. Den Graphen von f(x) = -x² erhält man, indem man den Graphen von f(x) = x² an der x-Achse spiegelt. Das ist also eine nach unten geöffnete Normalparabel, die durch den Nullpunkt geht.

    Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Hallo,
    Kann man das auch mit einer Wertetabelle einzeichnen? und wie wäre das dann mit -x^2

    Von Georgina Eichhorn, vor mehr als einem Jahr
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Tanja F.,

    dieses Video behandelt Funktionen der Art, wie du sie angegeben hast, noch nicht. Schau dir folgendes Video an. Dort wird es erklärt...
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/normalform-und-scheitelform-einer-quadratischen-funktion
    Falls du dann noch Fragen hast, schreib mir einen Kommentar an dem Video.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  2. Facebook chronik cover hund feat

    Wie würde man 05,x² + x +5,5 dann einzeichnen müssen ?

    Von Tanja F., vor mehr als 2 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Ja, die Graph einer quadratischen FUnktion heißt Parabel.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    sind parabeln eine quadratische funktion

    Von Janbusse4, vor mehr als 3 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Dagmar,

    eigentlich ist das alles im Video erklärt. "y = x hoch ZAHL" geht immer durch den Nullpunkt. Wenn ZAHL gerade und positiv ist, kommt sie von links oben (2. Quadrant) und geht nach rechts oben (1. Quadrant). Ist ZAHL gerade und negativ, ist sie nach unten gespiegelt (kommt von links unten und geht nach rechts unten). Ist ZAHL ungerade und positiv, kommt sie von links unten und geht nach rechts oben. Ist ZAHL ungerade und negativ, geht sie von links oben nach rechts unten.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  6. Default

    wie erkennt man wie man die Parabel einzeichnet ??

    Von Dagmar C., vor mehr als 3 Jahren
  7. Bewerbungsfoto

    Wenn das MInus so vor dem Funktionsterm steht, dann wird der ganze Graph der Funktion an der x-Achse gespiegelt. Also f(x)= - x hoch 4 sieht aus wie f(x)=x hoch 4, nur dass der Graph an der x-Achse gespiegelt ist.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  8. Default

    was ist eigentlich, wenn vor dem x ein minus steht?
    Aslo z.b. so: f(x)= -xhoch4

    Von Knuisan, vor mehr als 3 Jahren
  9. Bewerbungsfoto

    Hallo Aliicebock,

    'x-2' ist ja auch eine Funktion. Zeichne deren Graphen in das gleiche Koordinatensystem wie die Normalparabel. Wenn du dann noch Fragen hast, kommentiere hier nochmal. LG, Steve

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  10. Default

    Ich hab eine Frage, was macht man, wenn die Gleichung x'quadrat' = x-2 gegeben ist und man die gleichung näherungsweise durch zeichnen geeigneter funktionsgraphen lösen soll? Die normalparabel habe ich schon gezeichnet, aber ich komme mit 'x-2' nicht weiter...

    Von Aliicebock, vor fast 4 Jahren
  11. Bewerbungsfoto

    Hallo Murks,

    freut mich, das zu hören. Vielen Dank für das tolle Lob! Uns Mathe-Sofatutoren macht das Erklären wirklich sehr viel Spaß. Schön, dass man das merkt! Viel Spaß noch mit den Videos!

    Steve

    Von Steve Taube, vor etwa 4 Jahren
  12. Default

    Hallo Steve,
    vielen Dank für deine schnelle Antwort. Deine Videos sind echt spitze und bringen mir Mathe wieder ein großes Stückchen näher. Will sagen, macht mittlerweile echt Spaß. Liegt aber wirklich daran, dass du und auch deine anderen "Mathekollegen" super erklären und man merkt aucht, dass es Euch Spaß macht, jemandem etwas beizubringen. Dafür einmal ein ganz dickes Lob und Dankeschön!!!!!
    Gruß
    Murks

    Von Murks, vor etwa 4 Jahren
  13. Bewerbungsfoto

    Hallo Murks,

    ich habe wahrscheinlich etwas undeutlich gesprochen. Ich sage: "Sie sind überall im Definitionsbereich monoton steigend." D.h. überall wo diese Funktionen definiert sind, also auf der ganzen reellen Achse, sind diese Funktionen monoton steigend.

    Steve

    Von Steve Taube, vor etwa 4 Jahren
  14. Default

    Hallo Steve,
    ich verstehe folgenden Satz nicht ganz (Video: 3:22):
    "Die ungeraden Parabeln sind über einem Definitionsbereich monoton steigend."
    Kann es auch sein, dass ich ihn akustisch nicht richtig verstanden habe? Kannst du mir das bitte noch einmal kurz erläutern? Vielen Dank schon jetzt!
    Ansonsten ist das Video ganz toll und ich habe es bis auf diesen einen Satz verstehen können (auch sinngemäß GRINS).
    Gruß
    Murks

    Von Murks, vor etwa 4 Jahren
  15. Bewerbungsfoto

    Hallo Saydokan,
    wie man zu einer Funktion den Graphen zeichnet, findest du hier:
    http://www.sofatutor.com/search?niveau=klasse-7&producer_id=1589&q=graph&subject_id=1

    Schau dir die ersten Videos an, dann wirst du es verstehen.

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  16. Default

    ich weiß nicht ob ich antworten darf, aber ich versuche es trotzdem. Du nimmst einen X-Wert und setzt es in deine Gleichung ein und bekommst die Y-Werte. Dadurch kriegst du dein Koordinaten und könntest dein Graph zeichnen.

    Von Oci, vor fast 5 Jahren
  17. Untitled

    Könntest du bitte auch erklären, wie man überhaupt Graphen zu einer Funktion zeichnet?

    Von Saydokan, vor fast 5 Jahren
  18. Bewerbungsfoto

    Versuche, aus dem Graphen Punkte abzulesen. Z.B. (2,8). Dann weißt du, dass es f(x) = x³ ist, weil 2³ = 8 ist. Wenn der Graph von links oben kommt und mach rechts unten geht, dann steht vor dem x ein Minus, also z.B. f(x) = -x³.

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  19. Default

    Wenn ich einen Graphen habe der aussieht wie im video, mit eine Underadenexponent, wie komm ich auf der Gleichung? Also, Rüchwärts arbeiten? Ich bin in Klasse 8. Danke!

    Von Oci, vor fast 5 Jahren
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