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Transkript Polynomdivision – Beispiel (2)

Hallo. Ein Beispiel zur Polynomdivision. Hier sind zwei freundliche Polynome, nämlich (x4-1) soll geteilt werden durch (x-1). Jetzt sagst du dir vielleicht, die sehen aber komisch aus diese Polynome, sonst ist doch dieses Polynom immer ein bisschen größer, ein bisschen länger und so was. Nun, das ist hier jetzt nicht der Fall. Aber das sollte dich nicht irritieren. Du kannst einfach stumpf deine Methode durchziehen, die Polynomdivision einfach durchführen und dann sieht man ja, was rauskommt. Also: Wir brauchen ein Gleichheitszeichen. Die Methode ist: Der erste Summand dieses Polynoms wird durch den ersten Summanden dieses Polynoms geteilt, also x4/x, das ist x3. Jetzt wird dieses Ergebnis mit diesem gesamten Polynom, durch das geteilt wird, multipliziert und das Ergebnis dieser Multiplikation wird hier unter dieses Polynom geschrieben. Also: x3×x=x4. x3×-1=-x3. Darum schreiben wir eine Klammer und ein Minuszeichen davor, denn wir wollen hier das von diesem Ausgangspolynom abziehen. x4-x=0. Das schreibe ich hier nicht hin. -1- -x3. Tja, das kann man nicht miteinander verrechnen. Also schreiben wir hin, was übrig bleibt, nämlich --x3=+x3. Und hier haben wir noch -1. Ja, und das ist jetzt der ganze Rest, der übrig bleibt. Und jetzt geht diese Methode wieder von vorne los. Wir nehmen den ersten Summanden dieses Polynoms und teilen ihn durch den ersten Summanden dieses Polynoms. Also x3/x. Das Ergebnis wird hier hingeschrieben. x3/x=x2.   Und jetzt wird dieses Ergebnis mit dem gesamten Polynom multipliziert und das Ergebnis dieser Multiplikation wird hier unter dieses neue Polynom geschrieben. Also x2×x=x3. x2×-1 ist -x2. Das, was wir erhalten haben, wird eingeklammert und ein schönes Minuszeichen kommt davor, ein Strich darunter, denn wir wollen abziehen. Das minus das. So, da brauche ich einen kleinen Anbau. x3-x3=0, brauche ich nicht hinzuschreiben. Jetzt haben wir hier noch -1 und --x2.

Das kann man nicht miteinander verrechnen, also ist unser Ergebnis hier x2, denn minus mal minus ist ja plus, also x2-1. Jetzt geht die Polynomdivision wieder von vorne los und auch dazu muss ich jetzt ein bisschen anbauen.

Wir haben ein neues Polynom, dieses Polynom wird durch dieses Polynom hier geteilt.

Der erste Summand dieses Polynoms wird durch den ersten Summanden dieses Polynoms geteilt. Das bedeuten, wir teilen x2 durch x, das ist x. Jetzt wird das Ergebnis, was wir erhalten haben, mit diesem Polynom, durch das geteilt wird, multipliziert und das Ergebnis davon wird hier drunter geschrieben.

Also x×x=x2. x×-1=-x. So und jetzt haben wir schon wieder den Fall, das es halt nicht richtig aufgeht, wir müssen das abziehen. x2-x2 ist Null. -1 haben wir da noch und +x. Also bleibt übrig x-1.  Und jetzt sieht man schon - na ja, das könnte klappen. Und zwar müssen wir jetzt wieder den ersten Summanden dieses Polynoms durch ersten Summanden dieses Polynomsersten teilen. x/x ist 1. Wir müssen dieses Ergebnis mit dem gesamten Polynom hier, durch das geteilt wird, multiplizieren und das Ergebnis unten hinschreiben. Also: 1×x=x, 1×-1=-1. Das müssen wir abziehen. Und ich glaube, ich verrate kein Geheimnis, wenn da Null rauskommt. So, ich hoffe, du kannst es gut sehen. Und damit ist das das Ergebnis der Polynomdivision von (x4-1)/(x-1). Vielleicht bist du das ein bisschen anders gewohnt. Dass man ein langes Polynom durch ein kurzes Polynom teilt und dann kommt ein etwas kürzeres Polynom raus als das lange Polynom vorher. Das muss nicht immer so sein, in dem Fall ist es nicht so. Ich möchte nur einen kleinen Hinweis geben. Und zwar hätte man hier auch ein bisschen anders vorgehen können, nämlich wenn einem eingefallen wäre, dass da ja eine binomische Formel drin steckt. Und zwar kann ich (x4-1) folgendermaßen schreiben. Ja, ich teile das mal hier ab.

((x2)2-1) und wir wissen ja, dass 1 auch eine Quadratzahl ist. Denn 1 zum Quadrat ist 1. Das heißt, ich hätte hier auch 12 hinschreiben können. Und da fällt dir bitte sofort die dritte binomische Formel ein. Denn jetzt kann man ja schreiben, dass das hier ja gleich (x2-1)×(x2+1 ist.  Jetzt kann man hier drauf wieder die binomische Formel anwenden und statt x2-1 schreiben, denn x2-1 ist ja auch x2-12. Also hier können wir schreiben (x-1)×(x+1) und dann mal x2+1. Und dann hätte man also nur noch x+1 mal x2+1 multiplizieren müssen und hätte quasi den Faktor x-1 da raus geholt und hätte das hier auch bekommen. Nur als Anregung dafür, dass man auch bei Polynomen die binomischen Formeln parat haben sollte. Aber, wenn du das einfach so rechnest, wie wir das hier gerechnet haben, ist das auch völlig in Ordnung. Viel Spaß in jedem Fall. Tschüss!        

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