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Polynomdivision 05:50 min

Textversion des Videos

Transkript Polynomdivision

Hallo! In diesem Video möchte ich euch zeigen, wie Polynomdivision funktioniert. Dazu nehme ich mir 2 Beispiele und die rechne ich dann Schritt für Schritt durch. Als Erstes nehmen wir uns 2 Polynome, das hier ist der Dividend und das ist der Divisor. Und analog dazu machen wir eine kleine schriftliche Division mit Zahlen, da können wir so ein bisschen vergleichen, wie die Vorgänge sind. Die sind nämlich eigentlich sehr ähnlich. Hier würden wir zuerst mal die 7 ganzzahlig durch die 3 teilen, das ergibt 2 und dann bleibt ein kleiner Rest. Und bei den Polynomen teilen wir als Erstes die größte übrige Potenz des Dividenden, also hier x5, durch die größte Potenz des Divisors, also x2. Die beiden markiere ich noch mal und da kommt raus x3. Bei unserer Zahlendivision würden wir jetzt das letzte Ergebnis mit dem Divisor multiplizieren, das vom Dividenden abziehen und die Zahl, die wir noch nicht gebraucht haben, einfach mit runterholen. Und genau so geht das jetzt bei den Polynomen auch. Wir multiplizieren also x3 mit dieser Klammer, da nehmen wir erst mal x3×x2 das gibt x5 und dann noch x3×(-1), das ergibt -x3. Um das Ganze machen wir dann eine Klammer und vor die Klammer ein - denn wir wollen das ja abziehen. Da fällt jetzt die höchste x-Potenz weg, das sollte auch so sein, dann haben wir 2x4, die übernehmen wir einfach. Dann haben wir -x3-(-x3) also +, das fällt weg. Und dann haben wir noch x2 die übernehmen wir und -3. Das ist also unser Rest von der ersten Division. Jetzt kommt wieder der 1. Schritt. Wir teilen die größte übrige Potenz des Dividenden durch die Größte des Divisors. Bei den Zahlen rechnen wir 11 durch 3, das ist 3 und ein gewisser Rest. Und bei den Polynomen 2x4/x2=2x2. Dann multiplizieren wir wieder das letzte Ergebnis mit dem Divisor und ziehen das Produkt vom Dividenden ab. Wir multiplizieren also 2x2 mit der Klammer x2-1. Da kommt raus 2x4 und dann -2x2, wir machen eine Klammer und ein - davor. Dann rechnen wir den Rest aus. 2x4-2x4 fällt weg. x2-(-2x2)=3x2 und -3 wird übernommen. Bei den Zahlen haben wir 3×3=9, das ergibt Rest 2 und die 4 ziehen wir mit runter und dann wird wieder geteilt. 24÷3=8. Bei den Potenzen haben wir 3x2÷x2=3. Das war also schon der Schrit mit dem Teilen jetzt. Die Probe bei den Zahlen ergibt 8×3=24, Rest 0, da sind wir also fertig. Und bei den Polynomen haben wir als Probe 3×x2 gibt 3x2-1×3=-3, Klammer drum, - davor und dann haben wir 3x2-3x2=0 und 3-(-3) ist auch 0, also Rest 0, also sind wir fertig.  Okay, im nächsten Beispiel ist das unser Dividend und das Polynom ist unser Divisor. Wir teilen die jeweils größten Potenzen durcheinander, also x7÷x4, das ergibt x3. Dann multiplizieren wir x3 mit der Klammer, das ergibt x7-3x4 und dann nicht vergessen, Klammer drum und - davor. Dann wird der Rest ausgerechnet. x7 fällt weg, dann haben wir -(-3x4) also +3x4 und die anderen Terme übernehmen wir von oben. Dann teilen wir 3x4 durch x4, das ergibt 3 und multiplizieren dann die 3 wieder rückwärts mit der Klammer. 3×x4 ergibt 3x4 und 3×(-3x) ergibt -9x. Klammer drum, - davor. 3x4-3x4 fällt wieder weg, -2x3 wird übernommen, -(-9x) sind +9x und +6 wird übernommen. Diesen Term müssten wir jetzt eigentlich wieder durch x4 teilen, aber hier unten ist der höchste Exponent 3 und da oben 4. Und das können wir dann nicht mehr ganz rational teilen, weil 3 kleiner als 4 ist. Das ist wie, wenn wir bei der Division 21÷5 erstmal 4 erhalten, 4×5=20, dann haben wir Rest 1, dann können wir die 1 nicht mehr durch 5 teilen, weil 1 kleiner als 5 ist. Da würden wir dann den Rest 1 notieren. Und bei den Polynomen geht das genauso. Wir nehmen den ganzen restlichen Term und teilen den durch den Divisor. Das ist dann eben der Rest der Division und der muss auf jeden Fall echt gebrochen rational sein.

Okay, das wars und wenn ihr noch ein bisschen üben wollt, dann habt ihr hier noch ein paar Aufgaben.

Informationen zum Video
30 Kommentare
  1. Default

    Brauch ich doch nicht. Kann ja einfach durch Multiplikation überprüfen.

    Von Liviolett, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Hat jemand die Lösungen von den Übungsaufgaben? Ich würde gerne wissen, ob ich die richtig gemacht habe. Sehr hilfreiches Video!

    Von Liviolett, vor etwa einem Jahr
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Stefan,
    du erinnerst dich sicher, dass du bei der schriftlichen Division mit Zahlen auch manchmal einen Rest stehen lässt, z.B. 51:13 = 3 Rest 12 oder man schreibt auch 3 + 12:13. Dies lässt man stehen, weil man es mit den zur Verfügung stehenden Mitteln nicht weiter berechnen kann. Genauso ist das bei der Polynomdivision. Den Rest (-x³+9x+6)/(x^4-3x) kann man nicht genauer berechnen. Das Polynom x^4-3x "passt nicht" weiter in das Polynom -x³+9x+6 rein, so wie 13 nicht in 12 "reinpasst".

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  4. Stpf

    Ich verstehe beim Schluss nicht was du da mit dem Rest der Division machst .. was soll den bitte bei -X^3+9+6 / X^4-3X rauskommen?

    Von Stefan R., vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    So was von GUT!

    ...wenn "mein" Matheprof nur HALBWEGS so gut erklären könnte, wollte, würde.....
    Sabrina

    Von S Kohler Dibl, vor mehr als 2 Jahren
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Wyona,
    um es erstmal einfach zu sagen: Weil die Polynomdivision so funktioniert :). Ich habe versucht es analog, an der schriftlichen Division mit Zahlen zu zeigen. Auch da wird "zurückmultipliziert" und dann abgezogen.
    Warum genau macht man das?
    Was eigentlich bei der PD passiert: Man zerlegt die Zahl, die man teilen möchte in Summanden, und teilt dann jeden der Summanden einzeln durch den Divisor (den Teiler). Diese Summanden gehen aber meistens nicht genau auf.
    Am Beispiel:
    Wir beginnen und wollen zuerst (x hoch 5) durch x²-1 teilen. Das ist aber ganz schön schwer im Kopf. Deswegen teilen wir erstmal nur durch x² und erhalten x³. Dann multiplizieren wir "zurück", um herauszufinden, was denn als Dividend eigentlich hätte dastehen müssen, damit tatsächlich :(x²-1) = x³ rauskommt. Nun, da hätte offensichtlich (x hoch 5) - x³ stehen müssen. D.h. in Wirklichkeit haben wir (x hoch 5) - x³ durch x²-1 geteilt. Und deswegen berechnen wir die Differenz zwischen (x hoch 5) und (x hoch 5) - x³, um herauszufinden, welchen Rest wir eigentlich noch schuldig sind und noch in die restliche Rechnung mit einbeziehen müssen, also welchen Teil wir in Wirklichkeit noch gar nicht geteilt haben. Dieser Rest wird ja danach zu den anderen Summanden addiert, die ebenfalls noch nicht geteilt wurden, so tastet man sich Schritt für Schritt an die Lösung.
    Ich hoffe, es war hilfreich.

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  2. Herz

    Wieso will man das abziehen bei 1:25 ?

    Von Cheyenne.Peters, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Danke Steve, durch dich habe ich das echt verstanden!! :))

    Von Palam, vor fast 3 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo J Radtke,

    damit ist Folgendes gemeint:
    Versuche, eine Nullstelle des Dividenden zu erraten.
    Beispiel x³-1 hat die Nullstelle 1.
    Dann weiß ich, dass der Term x-1 (also quasi x - "erratene Nullstelle") den Term x³-1 teilt.
    Dann kann ich also für die Division (x³-1):(x-1) ansetzen.

    Falls die Nullstelle nicht so einfach zu sehen ist, wie in diesem Beispiel, dann probiere alle Teiler des absoluten Glieds, Beispiel: x³-2x²-6x+9. Probiere die Teiler von 9 durch. Prüfe, ob 1 oder -1 Nullstellen sind. In diesem Beispiel sind es keine. Probiere dann 3 und -3 (weil 3 und -3 Teiler von 9 sind). Die 3 klappt in diesem Fall.

    Falls noch was unklar ist, schreib nochmal! Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
  5. Default

    Ich verstehe leider immer noch nicht wie ich auf den Divisor komme? Was ist gemeint mit "rumprobieren"? Bitte um Beispiel

    Von J Radtke, vor etwa 3 Jahren
  6. Fliege

    Sehr gut und verständlich erklärt geschätzer Kollege

    Von Julemule, vor etwa 3 Jahren
  7. Default

    sehr verständlich :)

    Von Oliver Bednarek, vor mehr als 3 Jahren
  8. Default

    sorry aber wie soll ich bei dieser unübersichtlichkeit und der redegeschwindigkeit noch mitkommen.?

    Von Dunking, vor fast 4 Jahren
  9. Bewerbungsfoto

    Hallo Anna Faust94,

    du kannst mir deine Lösungen als Nachricht schicken. Dann sage ich dir, ob deine Lösungen stimmen. Du kannst auch selber die Probe machen, indem du dein Ergebnis mit dem Divisor der Aufgabenstellung multiplizierst. Dann muss der Dividend als Ergebnis rauskommen.

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  10. Default

    Wo inde ich die loesungen zu den angegebenen uebungsaufgaben am ende des videos?

    Von Anna Faust94, vor fast 4 Jahren
  11. Bewerbungsfoto

    Hallo Chiara,
    x hoch 7 : x hoch 4 ist NICHT 3 x hoch 3, sondern nur x noch 3. Das wird im Video auch so gesagt, nämlich bei 3:50. Ich weiß nicht, woher du deine Rechnung hast.
    Viele Grüße, Steve

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  12. Default

    wie kommt man von xhoch7:xhoch4 auf 3xhoch3?

    Von Chiara.A, vor fast 4 Jahren
  13. Default

    Bei mir funktioniert das Video auch nicht könntet ihr das Video vielleicht noch mal neu hochladen oder so

    Von Chiara.A, vor etwa 4 Jahren
  14. Merlin

    Hallo Benny95, bitte probiere es mit Deiner Frage mal im Mathe-Chat (Montag - Freitag von 17 - 19 Uhr).

    Von Merlin D., vor etwa 4 Jahren
  15. Default

    Leider funktioniert das Video nicht. Aber vielleicht könnt Ihr mir ja dennoch helfen. Wie zerlege ich Polynome in Linearfaktoren, wobei nur ganze Zahlen vorkommen sollen?
    Z. B. x^2-6x+8
    Vielen Dank

    Von Benny95, vor etwa 4 Jahren
  16. Bewerbungsfoto

    Der Divisor ist meistens gegeben (wenn du nur die Polynomdivision an sich üben sollst). Du benutzt ja die Polynomdivision, um die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen. In dem Fall hast du dann entweder eine Nullstelle gegeben oder du kannst sie durch Probieren herausfinden. Hast du sie gefunden - z.B. x = 6 - dann ist der Divisor (x-6), also immer durch (x - Nullstelle) teilen.

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  17. Default

    Wie komme ich auf den Divisor?

    Von Johann A., vor fast 5 Jahren
  18. Default

    Sorry, aber diese farbigen X tragen nicht gerade zur Übersichtlichkeit bei...

    Von R Gross, vor fast 5 Jahren
  19. Default

    Muss man das so schnelle erklären?

    Von Johann A., vor fast 5 Jahren
  20. Default

    dazu muss dann ich auch noch sagen das in der schriftlichen Fachhochschulprüfung in Badenwürtemberg man ohne diese "Polynomdivi" nicht überleben kann.
    Hast mir sehr geholfen :)

    Von Rob By, vor mehr als 5 Jahren
  21. Default

    wollte nur sagen, dass im bayerischen g8 abi, bei dem für alle mathe schriftlich pflicht ist, welches am 20.5.2011 geschrieben wird, die polynomdivi NICHT drankommt

    Von Ase K, vor mehr als 5 Jahren
  22. Printimage

    wow das ja mal ein Hammervideo

    Von Steph Richter, vor mehr als 6 Jahren
  23. Default

    soweit ist mir alles klar, das video hat sehr geholfen! gibt es zu den übungsaufgaben auch lösungen?

    Von Kim 91, vor etwa 7 Jahren
  24. Bewerbungsfoto

    Dann rechnest du auch ganz normal wie beschrieben. Z.B. (2xhoch4 + x²):(x-1), dann teilst du im ersten Schritt 2xhoch4 durch x und das ergibt 2xhoch3, das heißt, der erste Summand im Ergebnis ist dann 2xhoch3 und dann musst du wieder 2xhoch3 mit der Klammer (x-1) multiplizieren und in einer Minusklammer unter den Dividenden schreiben. In den späteren Schritten stehen ja auch manchmal Zahlen vor den x-Potenzen.

    Von Steve Taube, vor etwa 7 Jahren
  25. Default

    Dieses Video hat mir schon sehr weiter geholfen aber was muss man machen wenn am Anfang vor dem DIvidenden noch eine Zahl steht? z.B. 2xhoch4

    Von Sina16, vor etwa 7 Jahren
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