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Transkript Permutation – Einführung

Hallo! In der elementaren Kombinatorik beschäftigt man sich auch mit Permutationen. Ich habe hier 7 Plüschhunde sitzen, die jeweils Weihnachtsmannmützen aufhaben, und die haben eine bestimmte Reihenfolge. Also eine Aufgabe wie aus dem Leben gegriffen. Wenn ich jetzt 2 vertausche, dann haben die eine andere Reihenfolge. Und jede dieser Reihenfolgen nennt sich jetzt eine Permutation oder auch eine Anordnung. Die Frage ist jetzt: Wie viele Permutationen gibt es? Auf wie viele Arten kann ich diese 7 Plüschhunde mit Weihnachtsmannmützen anordnen? Das stellt man sich folgendermaßen vor: Man stellt sich erst 7 Positionen vor, hier symbolisiert durch die Zahlen von 1 bis 7. Die sind vielleicht ein bisschen klein geschrieben, aber ich glaube, du kennst die Zahlen von 1 bis 7 schon und ich muss es nicht wieder erklären. Jetzt habe ich für das 1. Plüschhündchen 7 Möglichkeiten, das irgendwo hinzutun. Das kommt jetzt auf die 6. Für den 2. Plüschhund hier habe ich nur noch 6 Möglichkeiten. Ich stelle den hier hin. Für den 3. habe ich nur noch 5 Möglichkeiten, weil nur noch 5 Plätze frei sind. Für den nächsten habe ich noch 4 Möglichkeiten, 3 Möglichkeiten, 2 Möglichkeiten, und der kommt nur noch hier hin, weil nur noch diese eine Lücke frei ist. Es waren also insgesamt 7×6×5×4×3×2×1 Möglichkeiten und dafür gibt es einen speziellen Ausdruck in der Mathematik, das nennt sich nämlich 7!. Das ist Ausrufezeichen, 7 Fakultät wird das gelesen und bedeutet 7×6×5×4×3×2×1. Dann haben wir auch eine Definition für n!, das ist dann n×(n-1)×(n-2)×...×1. Das wäre die ganz korrekte Schreibweise. So ist n! definiert und das ist die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge. Auch das kann man sich mit mehreren Grundsituationen vorstellen. Ich könnte zum Beispiel hier einen Behälter nehmen und ich könnte jetzt also hier 7 Zettel reinwerfen und alle der Reihe nach ziehen. Dann habe ich für den 1. Zettel 7 Möglichkeiten, ihn zu ziehen, für den 2. Zettel habe ich noch 6 Möglichkeiten, für den 3. 5, für den 4. 4 Möglichkeiten, 3, 2, 1 Möglichkeiten. Also: Auch so kann man eine Permutation, eine Anordnung von 7 Elementen erlangen, indem man nämlich 7 Mal zieht und die Zettel dabei selbstverständlich nicht zurücklegt. Dann gibt es auch noch das Verteilen auf Boxen. Dann brauche ich auch 7 Boxen dafür. Wenn ich also 7 Gegenstände auf 7 Boxen verteile und dabei aber noch die Bedingung haben möchte, dass in jede Box nur 1 Zettel kommt, dann ist das auch eine Permutation, die dadurch erreicht wird. Ich fange jetzt mit der 1 an. Diese 1 kann ich in eine Box tun und die 2 auch, z. B. in diese hier. Und in jede Box kommt nur 1 Zettel. Die 3, 4, 5, 6 und 7. Und das ist jetzt eine Anordnung, die ich hier bekommen habe. Wichtig ist bei dem Verteilen auf Boxen, dass ich wirklich die Zettel der Reihenfolge nach hineinlege - ich habe ja mit der 1 angefangen und mit der 2 weitergemacht, dann die 3 reingelegt und dann die 4. Wenn man das auch noch vertauscht, dann ist es ein anderer Zufallsversuch. Jetzt ist also hier eine Anordnung entstanden: 3, 1, 5, 7, 2, 6 und die 4. Das ist eine Anordnung, es gibt insgesamt 7! dieser Anordnungen, denn ich hatte ja für die 1 7 Möglichkeiten, für die 2 hatte ich noch 6 Möglichkeiten, weil noch 6 Boxen frei waren und so weiter. Also so kann man sich das vorstellen, das ist eine der Grundsituationen, wie gesagt, Permutationen. Man kann viele Zufallsversuche so modellieren und da Permutationen wiedererkennen. Viel Spaß damit! Tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    Hat mir super geholfen, top Lehrer!!!

    Von Paddy.H7, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    genialer Kerl- einfach gut erklärt^^ un gleichzeitig noch en bisschen Weihnachtsfeeling vermittelt saugued!!!13!

    Von Jackx, vor fast 5 Jahren