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Transkript Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (2)

Hier steht die Definition einer periodischen Funktion. Sie lautet: Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl p gibt, sodass für alle reellen Zahlen x gilt: f (x+p) = f (x). Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft heißt Periode. Diese Definition möchte ich erläutern an diesem Schaubild hier. Du kennst wahrscheinlich den Mythos von Sisyphos, das war eine Person, ein Charakter aus der griechischen Mythen- und Sagenwelt. Dieser Herr Sisyphos ist von den Göttern dazu verdonnert worden, einen schweren Stein einen Berg raufzurollen, worauf der Stein wieder runterrollt und Sisyphos muss von vorne beginnen, den Stein wieder den Berg hinaufzurollen und das muss er bis in alle Ewigkeit tun. Albert Camus hat da eine sehr tiefsinnige Betrachtung  zu geschrieben und wir können ihm mal folgen auf seinem Weg zu Sisyphos in seiner Beobachtung des Sisyphos. Wir kommen zu irgendeinem Zeitpunkt 0 zu dem Sisyphos hinzu. Der Stein ist gerade unten und Sisyphos fängt an, den Stein den Berg hinaufzurollen. Diese Funktion gibt jetzt die Höhe des Steins über Grund an. Die Höhe wächst, weil Sisyphos den Stein den Berg hinaufrollt. Hier läuft die Zeit mit. Dann rollt der Stein runter, das geht schneller, dann fängt Sisyphos wieder von vorne an, rollt den Stein wieder nach oben, der Stein rollt von alleine wieder runter und so weiter. Das hat Sisyphos schon eine ganze Weile getan. Sisyphos kommt aus der Antike und Camus nicht und deshalb kann man einfach sagen, das geht hier schon eine ganze Weile so. Deshalb haben wir hier eine Funktion, deren Funktionswerte sich wiederholen. Ich möchte das einfach Mal bei einem Wert zeigen. Wir nehmen hier mal -11, zum Beispiel. Das könnte hier sein, da ist der Stein noch nicht oben, da ungefähr. Ich hab gesagt, das ist eine periodische Funktion, die Funktionswerte wiederholen sich. Das können wir jetzt hier mit der offiziellen Definition vergleichen. Hier wird gesagt es gibt ein p, sodass gilt f (x+p) = f (x). Für das x setz ich jetzt 11 ein. Was könnte das p sein? Es könnte zum Beispiel 8 sein, dann kann ich rechnen -11 + 8 = -3. Dann betrachte ich den Funktionswert bei -3, der ist ungefähr hier, und wir sehen der Funktionswert ist gleich groß. Da sind die Funktionswerte. Das kann ich jetzt hier für jeden anderen x-Wert auch machen. Ich kann zum Beispiel den x-Wert -15 nehmen und 8 hinzuaddieren, dann komm ich zu -7, das wäre hier. Da ist -15, hier ist der Funktionswert, bei -7 ist der Funktionswert hier. Sie sind beide in gleicher Höhe, das heißt, wir haben hier eine periodische Funktion und die Periode ist 8. Ich bin jetzt von 8 Zeiteinheiten ausgegangen, vielleicht sind es 8 Stunden. Ich kenn mich nicht genau aus in der griechischen Unterwelt. Alle acht Stunden beginnt dieser Prozess von Neuem und man könnte hier natürlich sagen, dass das auch alle 16 Stunden der Fall ist. Das wäre aber unsinnig. Wenn es sich alle 8 Stunden wiederholt, dann sagen wir natürlich, dass es alle 8 Stunden ist und nicht alle 16 Stunden und deshalb nehmen wir hier zur Angabe der Periode auch die kleinste Zeiteinheit, für die gilt, dass sich ab hier der Vorgang wiederholt. Das ist eine periodische Funktion, die die Definition erfüllt. Viel Spaß damit.

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