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Transkript Periodische Funktionen – Definition und Beispiel (1)

Hallo! Hier auf dieser gelben Folie steht die Definition einer periodischen Funktion. Sie lautet: Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es mindestens eine Zahl p gibt, sodass für alle reelle Zahlen gilt: f(x+p)=f(x). Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft heißt Periode. Nun das ist vielleicht eine etwas sperrige Definition. Ich zeige sie am Ende nochmal und möchte in der Zwischenzeit das Mal mit einem Beispiel mit etwas Leben füllen. Mario Barth hat mal gesagt: "Männer sind zwar primitiv, aber glücklich". U.a. festgemacht hat er das am Kleidungsverhalten eines Mannes bezüglich der gefühlten Außentemperatur. Das geht so: draußen kalt- Jacke an. Draußen warm- Jacke aus. Wenn nun eine Frau wissen möchte, wann, zu welchem Zeitpunkt im Jahr ihr Mann eine Jacke tragen wird, dann kann man das für die Frau ganz einfach darstellen. Ich sage das deshalb aus Perspektive der Frau, weil ein Mann ja weiß, ob er eine Jacke an hat oder nicht. Sollten ihn gewisse Umstände daran hindern das zu wissen, dann ist es sowieso egal. Hier haben wir ein Koordinatensystem. Ich lege fest, hier ist eine 1. Das soll die Zeitspanne eines Jahres veranschaulichen. Hier ist auch eine 1 und hier ist eine -1. Jetzt kann man das in Viertel einteilen. Hier ist die 1. Hälfte, da ist die 2. Hälfte. Hier haben wir das 1. Viertel, 2. Viertel, 3. Viertel, 4. Viertel. Also haben wir hier den x-Wert 0,25. Hier ist 0,5 und da ist 0,75. Ja es ist vielleicht nicht ganz so groß geschrieben, aber ich hoffe, es ist sichtbar. Jetzt möchte ich mal eine Funktion einzeichnen. Wir nehmen an im 1. Viertel eines Jahres ist Winter. Da zieht der Mann die Jacke an. Also haben wir hier den Funktionswert bei 1. Im 2. Viertel und im 3. Viertel hat der Mann keine Jacke an und deshalb ist hier der Funktionswert bei -1. Im letzten Viertel hat der Mann wieder seine Jacke an. Also letztes Viertel ist 1. Bis Ende des Jahres hat der Mann die Jacke an. Diese Funktion hier, die jetzt ein bisschen herumspringt, sie hat Sprungstellen, gibt an, wann der Mann die Jacke anhat bzw. sie gibt das Bekleidungsverhalten des Mannes an. Man ahnt es schon, das ist jedes Jahr gleich. Man kann sich hier jetzt auch das Jahr 2 vorstellen (um das mal so ähnlich zu machen). Hier wieder die Hälfte. Jede Hälfte besteht aus 2/4. Das ist mir nicht ganz gelungen, aber ist auch nicht so wichtig. Im 1. Viertel hat der Mann die Jacke an. Machen wir die Einteilung hier, ist die 1. In den nächsten beiden Vierteln hat er die Jacke aus. In dem darauf folgenden Viertel hat er die Jacke wieder an. Das wird auch weiter so sein, also auch hier hinten. Nach dem 2. Jahr wird das so sein und da geht es immer weiter. Es war auch schon immer so, übrigens. Zumindest kann man das so empfinden, dass es schon immer so war. Rein mathematisch kann es nicht immer so sein, weil kein Mann der Welt schon ewig gelebt hat. Voriges Jahr (ich muss das hier einteilen) hatte der Mann im ersten Viertel des Jahres die Jacke an. In den nächsten beiden Vierteln hatte er die Jacke aus und danach hatte er die Jacke wieder an. Das geht hier genauso weiter. Das teile ich jetzt nicht nochmal alles ein. Ich glaube es ist klar geworden, wie die Jacke hier so verläuft. Wir haben somit jetzt eine Funktion bekommen, die sich wiederholt. Jetzt kann man nochmal diese Definition dazunehmen und mal gucken, was das jetzt bedeutet. Also wir können jetzt eine Zahl p finden für die gilt, das f(x+p)=f(x). Diese Zahl ist, da es hier um ganze Jahre geht, schlauerweise die 1. Wenn ich jetzt  bei x 0,5 einsetze, dann erhalte ich den gleichen  Funktionswert wie an der Stelle 0,5+1. Es ist ja jedes Jahr wieder so, dass in der Mitte des Jahres der Mann die Jacke aus hat. Also der Funktionswert bei 0,5=-1. Der Funktionswert bei 0,5+1 ist auch -1. Das gilt für alle Funktionswerte. Wir können auch mal 0,2 einsetzen. Das ist im 1. Viertel des Jahres, das der Mann die Jacke anhat. Da ist der Funktionswert +1. Also f(0,2)=1 und f(0,2+1)=1=der Mann hat die Jacke an. Jetzt ist hier davon die Rede, das p eine positive Zahl sein soll, damit das p Periode sein kann. Vielleicht ist ja aus anschaulichen Gründen nicht weiter überraschend, dass man für p hier auch eine negative Zahl einsetzen kann.Dann wäre der Funktionswert bei 0,5 der gleiche wie bei 0,5-1. Das ist also hier. Wir sehen, beides mal ist der Funktionswert gleich. Das ist natürlich möglich eine negative Zahl hier einzusetzen. Aber man hat sich darauf geeinigt, das man positive Zahlen als Periode bezeichnet. Einfach deshalb, damit man verschiedene periodische Funktionen besser vergleichen kann. Das ist ein großes Thema, das man periodische Funktionen miteinander vergleichen möchte und deshalb hat man sich darauf geeinigt eine positive Zahl zu verwenden, dann wird die ganze Sache einfacher. Es soll außerdem die kleinste positive Zahl sein. Nun hier kann man das vielleicht auch sehen. Ich nehme wieder den Funktionswert bei 0,5. Wenn ich den vergleiche mit 0,5+2=2,5 dann habe ich auch den Funktionswert -1. Die Funktionswerte sind also an der Stelle gleich, aber hier möchte man den kleinsten positiven Wert haben, also das kleinste p für das gilt, das sich die Funktion dann wiederholt. Warum hat man das gemacht? Auch damit man eine gemeinsame Grundlage hat. Es ist uns auch aus dem Alltag geläufig, z.B. wenn ich einem Kind die Wochentage erklären möchte, dann werde ich auch nicht sagen, das sich der heutige Tag (heute ist Mittwoch) alle 14 Tage wiederholt. Das ist zwar richtig, das sich der alle 14 Tage wiederholt, aber sinnigerweise sage ich natürlich, das sich der jede Woche wiederholt (sonst würde ich da irgendwas verstellen). Also alle 7 Tage ist Mittwoch. Wir kennen das auch aus dem Alltag, das wir auch immer die kleinste Zeitspanne nehmen, oder die kleinste Angabe, ab der sich etwas wiederholt. Wenn sich etwas täglich wiederholt sagen wir auch nicht es wäre wöchentlich. Das wäre zwar auch richtig, das, wenn jeden morgen die Sonne aufgehen würde, dann wäre das nächste Woche auch so, aber es ist auch jeden Tag so. Deshalb würden wir sagen, das es jeden Tag so ist. Wir nehmen immer die kleinste Zeitspanne in solchen Angelegenheiten. Ja und ich glaube damit ist hier die Sache hinreichend abgearbeitet. Das ist hier nochmal die Definition. Letzten Endes sagt die aus, dass sich Funktionswerte wiederholen. Viel Spaß damit, tschüss.

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