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Transkript Partielle Integration – Erklärung

Hallo! Hier ist die Formel für die partielle Integration, oder auch Produktintegration genannt. Wir haben also: ∫u(x)×v'(x)dx=u(x)×v(x)-∫u'(x)×v(x)dx. Ja, wo kommt das her, diese Formel, das muss ich kurz erklären, damit man sich auch vorstellen kann, warum die so aussieht, wie sie aussieht. Und da habe ich mal Folgendes vorbereitet: Also, wir können uns vorstellen, wir haben 2 Funktionen u und v – ich habe jetzt "von x" nicht jedes Mal dazugeschrieben, ich hoffe, das verwirrt dich nicht. Also da steht ja eigentlich: u(x)×v(x). Also, wenn wir ein solches Produkt ableiten wollen, dann brauchen wir die Produktregel dafür, das ist dann also: u'×v+u×v'. Wir können nun beide Seiten hier integrieren, das habe ich hier gemacht, und die Gleichung bleibt dann richtig. Jetzt kommt der entscheidende Punkt, hier in der dritten Zeile, denn die Ableitung – also wenn man die Ableitung von u×v integriert, erhält man ja wieder u×v (mit ganz kleinen Abstrichen, die jetzt aber hier weiter keine Rolle spielen sollen). Es ist auch so, dass man eine Summe, also hier u'×v ist der eine Summand und u×v' ist der andere Summand, ja getrennt integrieren kann, nach der Summenregel. Das heißt also, ich könnte dieses Integral hier auf die andere Seite bringen und dann bleibt dieses Integral noch stehen. Und das habe ich hier gemacht. Und das, was hier unten steht, ist ja dann schon die Formel. Ja, wir haben u×v', das ist hier, und den Rest siehst du da unten. Also, deshalb sieht die Formel so aus, wie sie aussieht. Eine kleine Ergänzung noch, ich muss eben dranschreiben, was passiert, wenn man bestimmte Integrale ausrechnen möchte, dann kann man das in den Grenzen von a bis b. Da oben ist kaum Platz, aber hier oben steht jetzt ein b. Und dann muss hier auch diese Klammer drum, dann sind hier die Grenzen von a bis b und hier stehen sie auch dran, an diesem Integral. Und dann siehst du, wie du jetzt auch konkrete, bestimmte Integrale damit berechnen kannst. So, und jetzt gibt es ein, zwei Sachen, die ich da anmerken muss. Erstens kann man sich ja denken: Was bringt mir diese Formel, wenn das, was hier steht, komplizierter ist als das, was ich vorher hatte? Es kann Folgendes bringen: Es könnte sein, dass dieses Produkt, was hier steht, einfacher zu integrieren ist als das Produkt, was hier steht. Also da stehen ja die Ableitung von u und eine Stammfunktion von v'. Das könnte also passieren. Man kann auch die Situation bekommen, dass hier fast das Gleiche steht wie da – oder auch das Gleiche, das geht auch –, dann kann man aber dieses Integral wieder auf die andere Seite bringen und das, was hier steht, ist dann fast schon das, was man gesucht hat, nämlich eine Stammfunktion dieses Produktes hier. Auch das ist möglich. Und eine Sache muss ich noch anmerken, allgemein, bevor ich zu den Beispielen komme. Hier sagen viele Leute, bei dem v', das ist ja komisch. Wenn ich jetzt eine Funktion vor mir habe, die besteht aus einem Produkt aus 2 anderen Funktionen, dann kann dieser Faktor hier doch keine Ableitung sein. Bevor ich eine Ableitung habe, muss ich doch die Ableitung machen. Nun, so verständlich diese Denkweise ist, richtig ist sie aber trotzdem nicht. Denn man kann ja fast jede Funktion als Ableitung einer anderen Funktion auffassen. Also, es gibt auch Funktionen, wo das nicht der Fall ist, nämlich die nicht integrierbaren Funktionen, aber da ich das jetzt hier für die Schule mache, gehe ich mal davon aus, dass alle Funktionen, die du als Schüler zu Gesicht bekommst, integrierbar sind. Die anderen spielen in der Schule keine Rolle. Das heißt also: Immer, wenn du eine Funktion siehst, kannst du diese Funktion als Ableitung einer anderen Funktion auffassen. Das ist kein Problem, das darf man so machen. Ja, deshalb kann man dann hier immer auch die Produktregel verwenden – natürlich dann nicht, wenn sie keinen Vorteil bringt. Ein Beispiel dazu sieht folgendermaßen aus: Ich habe mal die Funktion x5 aufgefasst als ein Produkt aus x³×x². Kann man so machen. Ich habe jetzt bewusst ein Beispiel gewählt, das man auch anders integrieren kann, damit man sieht, dass das funktioniert mit der Produktintegration, mit der partiellen Integration. Einfach nur mal so zum Überprüfen. Wenn also der eine Faktor x³ ist, dann soll das jetzt mal unser u(x) sein, dann müssen wir uns überlegen, was ist dann u'(x), denn das brauchen wir hinterher hier bei der partiellen Integration. Also, das ist die Ableitung von x³, das ist 3x². Der andere Faktor soll v' sein, also die Ableitung einer anderen Funktion, und dann brauchen wir also die Stammfunktion von x² und das ist (1/3)x³. So, und dann kann man die Sache hier anwenden. Ja, so muss ich das, glaube ich, machen, dann kann man es sehen. Also, hier steht erst mal u(x), das ist x³, habe ich hier hingeschrieben, dann kommt v(x), das ist hier, das ist (1/3)x³ und das steht hier, -∫u'(x), also u' ist (also (x) hätte ich natürlich auch noch hinschreiben können, aber das habe ich mir jetzt wieder gespart) 3x², das steht hier, und wir brauchen noch v(x), also diese Sache hier, und das ist (1/3)x³.  So, und jetzt stellen wir also bestürzt fest, dass das, was hier steht, nicht komplizierter ist als das, was hier steht – es ist sogar das Gleiche. Also der Effekt, dass dieses Integral jetzt einfacher zu bestimmen ist als dieses Integral, der ist nicht eingetreten. Aber man kann Folgendes machen: Ich fasse das jetzt einfach mal hier zusammen und schreibe das hier davor und das fasse ich auch zusammen. Dann passiert Folgendes: Wir haben das Integral von (x5)dx. Das hier ist (1/3)x6 und - das Integral von, ja, (1/3)×3=1, x²×x³=x5. Oh, dx fehlt da, dx sollte man nicht vergessen, da muss man immer drauf achten! Also, ∫(x5)dx. Und jetzt kann ich auf beiden Seiten +∫(x5)dx rechnen und habe dann: 2×∫(x5)dx=(1/3)x6. Und wenn man das jetzt durch 2 teilt, dann steht da: ∫(x5)dx=(1/6)x6. Ja, und das ist richtig, das wussten wir auch vorher, aber so kann man eben sehen, wie man die partielle Integration anwendet und auch, dass sie in einem solchen Fall richtig ist. Und man kann eben auch diesen Trick sehen, der oft vorkommt, dass man durch Anwendung der partiellen Integration nicht unbedingt ein einfacheres Integral bekommt, ja, auf dieser Seite hier, sondern, dass man das gleiche Integral bekommt oder ein sehr ähnliches Integral, also wo dann zum Beispiel eine Summe drin ist oder so was, aber dieses Integral auch wieder vorkommt. Und dann kann man eben mit Gleichungsumformung doch noch zur Lösung gelangen. Ja, das war's erst mal zur Erklärung der partiellen Integration, der Produktintegration. Viel Spaß damit. Tschüss!

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