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Transkript Partielle Integration – Beispiel (6)

Hallo! Wir suchen ein Integral und zwar mit Hilfe der partiellen Integration, in dem Fall sogar der zweimaligen partiellen Integration. Und es geht um das Integral ? x2ex dx. Die Taktik ist jetzt folgende: Wie so oft bei der partiellen Integration kann es passieren, dass das Integral, was hier hinterher steht, einfacher ist, als das hier. Zum Beispiel wenn man eine Funktion hat, eine ganzrationale Funktion, und hier eine Funktion, die man ganz gut integrieren kann. Dann kann man diese partielle Integration anwenden. Dann passiert nämlich folgendes, dass die ganzrationale Funktion, die hier steht, einen Grad kleine geworden ist. Die Ableitung ist ja dann immer um einen Grad kleiner. Wenn wir hier zum Beispiel x2 haben, wie da, dann haben wir hier in dem Integral noch 2x. Und dann kann man das Ganze noch mal anwenden. Und dann ist also u=2x in unserem Fall hier und wenn man das dann wieder ableitet, kommt da nur noch 2 raus. Und vorausgesetzt wir haben hier wieder eine Funktion, die man wieder ganz gut integrieren kann. Dann sind wir eigentlich fertig, denn die 2 können wir dann vor das Integral schreiben und das Ding, was hier dann auftritt, das müsste man dann noch mal integrieren. Und wenn das dann auch gut klappt, dann haben wir gewonnen. Und das ist zum Beispiel typischerweise so, wenn man hier eine ganzrationale Funktion hat und hier eine e-Funktion oder auch hier eine ganzrationale Funktion und da eine trigonometrische Funktion, also Sinus zum Beispiel. Man kann ja Sinus ganz einfach so oft wie man will integrieren. Und das sind so die typischen Fälle, wo man diese Taktik anwendet. Also konkret hier zu dieser Funktion. Wenn man dann weiß wie es geht, ist es schnell gemacht. Wir brauchen u, das steht hier wieder, und wir brauchen v, also eine Stammfunktion von ex, das ist freundlicherweise ex. Minus Integral von Ableitung von u, das ist also 2x,  kein Problem, und v kommt da wieder hin, das ist wieder ex, also bleibt es wieder gleich. Dann müssen wir das Ganze noch mal machen. x2ex habe ich wieder abgeschrieben, Minuszeichen abgeschrieben und dann können wir hier die partielle Integration darauf anwenden und zwar indem wir wieder sagen, das hier soll jetzt unser u sein - das ist bisschen verunglückt, weil ich das gleichzeitig hier wegwischen wollte - und das soll v' sein. Und dann haben wir 2x, das kann ich wieder abschreiben, v muss dann da hin, also Stammfunktion von ex ist wieder ex. Minus Integral von Ableitung von u ist jetzt 2, Ableitung von 2x ist 2 und hier steht v, also eine Stammfunktion von ex, die hier wieder ex ist. Klammer zu natürlich, wegen dieser Klammer hier. Das sollte kein Problem sein. Dann können wir noch bisschen was ausklammern. Das habe ich jetzt sogar in zwei Schritten gemacht. Warum eigentlich? Keine Ahnung. Egal. Ich kann diese Klammer auflösen. Dann steht hier -2xex und kann daraus... Warum hab ich das jetzt so gemacht? Ist egal. Ausklammern sollte jetzt wirklich kein Problem sein. Ich kann da aus diesen beiden Summanden hier das ex ausklammern und habe dann x2-2x da stehen. Und dann muss ich noch dieses Integral bilden. Das bleibt ja sowieso gleich, weil die Stammfunktion von ex wieder ex ist. 2 kann man einfach vor das Integral schreiben. Das heißt, hier steht noch 2ex, das ist dieses Integral dann und es steht da + weil ja hier - und - steht. Das ist schon die ganze Herrlichkeit dabei. Und jetzt kann man hier auch noch mal ex ausklammern und da hat man dann ex*(x2-2x+2). Ja, so einfach kann Mathematik sein und auch die partielle Integration. Ich hoffe, du hast es auch als einfach empfunden. Viel Spaß damit, tschüss!

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