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Transkript Partielle Integration – Beispiel (4)

Hallo! Wir machen partielle Integration, und zwar mit der Funktion sin2(x). Das kann ich erst mal schreiben als sin(x)×sin(x) und einer der beiden Faktoren ist jetzt u und der andere ist v'. Können wir uns da aussuchen. Spaß beiseite. Ist sowieso egal jetzt. Wir haben, wenn sin(x)=u ist, dann ist u'=cos(x). Und wenn sin(x)=v' ist, dann ist eine Stammfunktion v=-cos(x). Ich glaube brauche ich nicht weiter erklären. Setze ich voraus, dass du das weißt. Dann müssen wir also jetzt diese Sache gleich der Sache hier setzen und das sieht so aus. Also wir brauchen u(x), haben wir gesagt, wenn u=sin(x) ist dann steht das also hier und von v(x) ist haben wir gesagt -cos(x), das ist hier. Dann kommt -, meistens schreibt man das - hier noch mal hin, wenn es dann eine Zeile weitergeht. Also -∫cos(x), das ist u', das ist da unten und ×-cos(x), das ist ja v, v=-cos(x), dx kommt noch ans Ende und das ist jetzt hier eine Gleichung geworden quasi ∫sin(x)×sin(x)dx=sin(x)×-cos(x)-∫cos(x)×-cos(x) -sehe ich gerade, ich habe eine Klammer vergessen - dx und diese Gleichung, die wird jetzt umgeformt. Und zwar kann ich da Folgendes machen. Ich brauche die andere Tafel noch. Also wie bin ich zu dem Ding hier gekommen? Ich habe erst mal sin2(x) hier abgeschrieben. Ich kann auch diese Gleichung nehmen. sin2(x), also ∫sin2(x) habe ich abgeschrieben und dann dieses ganze Zeugs hier auf die andere Seite gebracht. Das steht jetzt hier. Frage ist, wie kommt es zu dem - Zeichen? Wir haben hier -cos, das - kann ich vor das Integral schreiben, dann steht hier +. Wenn ich das jetzt auf die andere Seite bringe, dann muss ich es also wieder abziehen. Das heißt, deshalb ist hier das - da, also -∫cos2(x)dx und diese linke Seite hier, die habe ich einfach nur hier abgeschrieben und dieses - Zeichen dann davor gesetzt. Ich hoffe bei dir in der Rechnung kommt das genauso raus. Jetzt habe ich diese Gleichung auf einer Tafel stehen und die muss jetzt noch weiter umgeformt werden. Nämlich jetzt fällt uns ja auf das da cos2 steht und sin2 und da fällt uns der trigonometrische Pythagoras ein. Nämlich das 1=sin2(x)+cos2(x) ist. Begründe ich jetzt hier nicht genauer, verwende ich jetzt einfach mal so. Das bedeutet aber auch das cos2(x)=1-x2 ist. Das kann ich hier verwenden, habe ich einfach hier ersetzt, andere Seite abgeschrieben, da steht sie. Das kann man jetzt weiter umformen, und zwar kann ich ja das ∫sin2(x)dx und hier ∫sin2(x)dx zusammenfassen zu 2-mal dieses Integral. Ich kann ja hier die einzelnen Summanden getrennt integrieren und kann dann dieses Integral und dieses, was da getrennt ist, hier also zusammenfassen und die 2 davorschreiben. Dann habe ich 2-mal dieses Integral. Das ist + übrigens weil ja hier -- steht. Das Integral ist ja dann wie eine Klammer und dann fehlt noch -∫(1)dx. dx steht hier nicht, weil es hier noch ein ganzes Integral ist und ∫(1)=x. Das unbestimmte Integral, also eine Stammfunktion von 1 ist x. Das steht hier und die rechte Seite habe ich wieder abgeschrieben. So das bedeutet ich muss jetzt einfach nur noch diese Gleichung ein bisschen auflösen und habe dann das stehen was das ∫sin2(x) von x dx ist. Ich weiß ja, was ich meine. Da wird man ja ganz wild dabei bei diesen ganzen Bezeichnungen. ∫sin2(x)dx=1/2, ja hier habe ich durch 2 geteilt die ganze Sache und x auf die andere Seite gebracht, also +x gerechnet, das ist hier. Als Erstes habe ich natürlich +x gerechnet und dann durch 2 geteilt und deshalb ist das, was hier steht, das habe ich einfach abgeschrieben. Das ist die Situation, so kann man sin2x integrieren. Das geht mit cos2x genauso. Viel Spaß damit. Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Default

    Danke

    Von Chadjahasan, vor mehr als einem Jahr
  2. Felix

    @Chadjahasan:
    Wenn du die partielle Integration einmal ausführst, dann steht da ein Integral mit Integranden cos²x. Das muss noch weiter aufgelöst werden. Der Trick ist es, den trigonometrischen Pythagoras anzuwenden: cos²x kannst du durch 1-sin²x ersetzen. Nach Zusammenfassen steht nur noch das Integral bzgl. sin²x da und wir sind fertig.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Frage? von Integral sin²(x) wurde die Produktintegration mit u(v)malv(x) -Integral cos(x) mal (-cos(x)). Wieso nehme ich dann nochmal das Integral sin² (x) in meine weitere Berechnung mit hinein?

    Von Chadjahasan, vor mehr als einem Jahr