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Transkript Partielle Integration – Beispiel (3)

Hallo! Wir machen die Integration der Logarithmusfunktion mit der partiellen Integration bzw. der Produktintegration. Ich zeige erst die Integration des Logarithmus zur Basis E, also des Logarithmus naturalis, auch ln von x genannt. Und dann, wie das mit allgemeinen Basen geht. Also, wir wollen ln von x integrieren. Und jetzt hat sich hier noch eine 1 dazugeschmuggelt. Das ist nötig, damit wir einen kleinen Trick anwenden können, und die partielle Integration verwenden können. Ja, manchmal passiert so was, da schreibt man einfach was dazu, was da so quasi vom Himmel fällt, und dann kann man da doch schön integrieren. Also, wir sagen, u(x) soll l(x) sein und dann ist u´(x) = 1÷x. Ja, das setze ich voraus dass du das weißt das die Ableitung von ln(x) = 1 ÷ x ist. Dann soll 1 unser v´ sein und dann ist v also eine Stammfunktion von 1x. Und jetzt kann man hier die Formel anwenden. Wir brauchen u(x), das ist der Logarithmus, wir brauchen v(x), das ist x, das steht hier, das Minuszeichen und das Integral von der Ableitung von ln(x), das ist also 1÷x, das steht hier. Und v(x) ist wieder das x, das steht hier. So, und dann sind wir fast durch. Denn, wie du ja bemerkst, 1÷x × x = 1, und da kommt oft der Fehler, dass da Leute sagen: "Ja, da kann ich das dann weglassen. Da macht das dann nix. Schreib einfach 1 hin. Nein, das ist ja noch Integral von 1, die x. Und das Integral von 1=x. Eine Stammfunktion von 1 ist ja x. Also, hier muss man noch die 1 integrieren. Dann steht hier das x, im Ganzen also ln(x) × x - x, und meistens schreibt man das x nach vorne. Vor das ln, weil das einfach ein bisschen übersichtlicher ist. Also, x × ln(x )-1 ist eine Stammfunktion von ln(x). Was machen wir jetzt mit beliebigen Basen? Wenn wir also einen Logarithmus zur Basis b haben, also irgendeine Basis. Den kann man auch integrieren. Also, nicht direkt, sondern man kann diesen Logarithmus umschreiben, als ln(x) ÷ ln(b). Ja, die Formel kennst du aus der Logarithmenrechnung. Das bedeutet jetzt, dass hier also ln(x) steht, und noch eine Konstante. Also, wir multiplizieren ja das ln(x) mit 1 ÷ ln(b). Das ist einfach eine Konstante, eine ganz normale Zahl wie du und ich. Und deshalb können wir das vor das Integral schreiben, und dann einfach nur noch ln(x) integrieren. So, und was eine Stammfunktion und das unbestimmte Integral von ln(x) ist, wissen wir schon, nämlich x × ln(x) -x, und dann kommt das, was davor steht, auch noch dazu, und dann geteilt durch ln(b), und das ist jetzt ganz allgemein also die Stammfunktion oder eine Stammfunktion eines beliebigen Logarithmus oder einfach das unbestimmte Integral eines Logarithmus oder der Logarithmusfunktion zu einer beliebigen Basis. So, viel Spaß damit! Tschüss!

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