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Transkript Partielle Integration – Beispiel (2)

Hallo. Ein kleines Beispiel zur partiellen Integration oder Produktintegration. Hier ist die Formel dafür. Und ich möchte das jetzt noch mal zeigen an unbestimmten Integralen. Die Grenzen sollen uns mal hier nicht so genau interessieren. Weil das dann auch nur was zum Ausrechnen ist, halt und viele Zahlen da sind. Das Verständnis dadurch nicht größer wird meiner Meinung nach. Also wir haben eine Funktion gegeben 5x×e2x+1. Und die soll jetzt integriert werden. Das heißt, wir suchen eine Stammfunktion hiervon. Jetzt kann man sich aussuchen, was welcher Faktor hier sein soll. Der eine Faktor ist 5x. Der andere ist e2x+1. Das ist schon mal klar. Erster Punkt, den ich vorausschicken muss. Man kann jetzt die 5 natürlich auch vor das Integral schreiben. Mache ich jetzt aber nicht. Weil erstens die Sache dadurch nicht wesentlich vereinfacht wird. Und zum Anderen kenne ich das schon, dass dann immer hier so ein Problem auftritt. Man müsste dann nämlich die 5, die dann hier vor dem Integral steht, hier noch davor schreiben. Eine große Klammer setzen. Und die 5 dann auf dieses Ding und auf dieses beziehen. Und dann hat man eine Klammer mehr. Man hat eben noch mal zu beachten, dass man hinterher noch mal ausmultiplizieren muss. Und eigentlich bringt das nicht so viel. In dem Fall. Deshalb mache ich es jetzt nicht. Andere Sache ist, die man sich jetzt hier überlegen muss. Also was soll die Ableitung sein und was soll eine Ausgangsfunktion sein. Und es ist gut, wenn man dann die Sache ein bisschen überblicken kann. Denn man sieht ja hier an diesen beiden Integralen, also das, was hier als Ausgangsfunktion genommen wird. Das steht in dem nachherigen Integral als Ableitung dar. Oder die Ableitung dieser Funktion steht hinterher da. Und von dieser Funktion hier, von diesem Faktor, steht hinterher eine Stammfunktion da. Das heißt, wenn ich jetzt also sage, o. k., das ist jetzt, also 5x soll v' sein und e2+1 soll u sein. Dann müsste ich mir eben überlegen was passiert dann mit u'. Was ist dann u'. Sage ich mal, wenn das dann zu u' wird. Nein muss ich anders machen. Also das ist u und u' ist dann, also das ist ein Pfeil hier. Man braucht die Kettenregel. Wir müssen die innere Funktion ableiten. Die innere Funktion ist 2x+1. Also ist die Ableitung 2×e. Äußere Funktion ist e^ Exponent dann. Das bleibt so. Also e2x+1. Das ist schon mal klar. Wenn 5x v' ist, dann ist v=5/2x2. So, und wenn jetzt also der Exponent sich hier erhöht, ist das Integral was hier stehen wird komplizierter geworden. Und schlechter zu integrieren. Also es ist schlechter zu bestimmen als das, was vorher da war. Deshalb ist das also nicht die richtige Richtung. Sondern, man kann jetzt umgekehrt das machen. Wir machen, das hier soll u sein, also 5x soll u sein. Und dann ist u' was hinterher da auftauchen wird einfach =5. Und wenn e2x+1=v' ist, dann müssen wir aber jetzt v bilden. Also e2x+1 integrieren. Da brauchen wir die lineare Substitution. Denn hier diese innere Funktion ist ja eine lineare Funktion. Und wir müssen dann einfach nur 1÷ Vorzahl von x hinschreiben. Und noch die äußere Funktion integrieren. Das heißt e^ Exponent integrieren. Und das ist e^ Exponent wieder freundlicherweise. Da bleibt es ja gleich bei e^ irgendwas. So, dann müssen wir mal gucken, ob das klappt. Ja und rein zufällig habe ich das schon mal vorbereitet hier. Wir haben hier, u brauchen wir. Das ist 5x. Das steht da. Dann brauchen wir v, also ½e2x+1. Das steht hier. Das Minuszeichen und das Integral von u'. Das ist 5. Und nicht 5/2. Aber es kommt ja noch v dazu. v ist ½×e^ Dingsbums. Also habe ich hier noch ½ dazugeschrieben. 5/2 also im Ganzen. Und e2x+1. Ja hier noch mal in voller Schönheit. Und das kann man dann ein bisschen zusammenfassen und integrieren und so. Dann haben wir hier 5x÷2×e2x. Das ist das, was vorne steht. Und minus. Wir brauchen eine Stammfunktion von e2x+1. Denn wir können ja wegen der Faktorregel der Integration 5/2 einfach vor das Integral schreiben. Und dann einfach e2x+1 integrieren. Haben wir hier schon gemacht. ½e2x+1 kommt heraus. Und deshalb, wenn man dann diese Zahl hier noch mal mit ½ multipliziert, steht da ¼. Das kann man noch zusammenfassen und ausklammern. Ich hab mich hier dafür entschieden, 4/5 auszuklammern. Kann man ein bisschen drüber streiten was man ausklammern soll. 4/5=1,25 und e2x+1 habe ich auch ausgeklammert. Und dann brauchen wir, weil ich 5/4 ausgeklammert habe, hier aber 5/2 stehen, brauche ich noch eine 2 dazu, damit es 5/2 werden. ×x das ist dieses x hier und 1 für das, was da hinten steht. Ja das ist das Ergebnis. Das ist eine Stammfunktion von 5x×e2x+1. Zu Ende. Tschüss.

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