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Transkript Partielle Integration – Beispiel (1)

Hallo, wir machen ein kleines Beispiel zur partiellen Integration. Hier ist die Formel zur partiellen Integration oder auch Produktintegration und das Beispiel, was immer als Erstes kommt, zeige ich jetzt auch als Erstes, ist ∫ex × xdx. Da müssen wir uns erst einmal überlegen, was u und v´ ist. Ich geh einfach hier mal der Reihe nach vor. Ich sag mal ex=u und v`=x. Also das darf man sich wirklich aussuchen, was was ist. Ich kann ja auch die beiden Faktoren umstellen, dann könnte es ja andersrum sein, das macht ja nichts. Also, wenn das nun so ist, brauch hier erst mal u´ und das ist ex und die Ableitung von ex ist ja auch wieder ex. Wenn x also als Ableitung aufgefasst wird, als v´, dann brauch ich eine Stammfunktion, nämlich v von v´ und das ist ½ x2. So, das kann man jetzt einsetzen. Also es geht jetzt quasi hier weiter, ja, das ist das Ausgangsintegral, was wir suchen und es geht jetzt hier weiter. Dann haben wir, also zunächst mal, wir brauchen u, das ist ex, das steht hier. Wir brauchen v, das ist ½ x2, das steht hier. Ein Minuszeichen, ein Integralzeichen und dann haben wir u´, also u´ ist ex wieder, das ist hier und wir brauchen v, das ist wieder ½ x2, das steht hier. So und nun ist der Fall eingetreten, der nicht eintreten sollte bzw. in dem es dann nicht soviel Sinn macht, diese Formel zu verwenden, denn das, was hier steht, ist ja nun komplizierter geworden, als das, was wir eingangs hatten. Da steht nur ein x, da steht ½ x2, gut ½ kann man davor schreiben, aber ich hab jetzt hier mit dem Integral erst mal nichts gewonnen. Man könnte das zwar jetzt noch mal anwenden und dann das umgekehrt machen, das würde alles gehen, aber warum mach ich das vor, so wie es nicht funktioniert. Ich wollte zeigen, erstens man kann sich aussuchen, was hier von beiden Faktoren u und was v´ ist. Zweitens brauchst du keine Scheu haben, einfach was zu machen. Ich kenn das, dass viele Leute erst mal grübeln, was könnte denn das Richtige sein und dann sind 10 Minuten schon einmal weg in der Klausur und die fehlt dann am Ende, die Zeit. Du kannst also einfach, wenn du jetzt keine Idee hast, nimm das Eine so, das Andere so, rechne es durch, dann siehst du, was raus kommt. Es kann nichts passieren, das Schlimmste ist, dass du was überflüssig gerechnet hast. Meistens ist man dann viel schneller durch, als wenn man drüber nachgrübelt. Gut, wenn das also nichts gebracht hat, dann kann man die Faktoren vertauschen quasi. Ich sag jetzt, hier hinten soll das u sein und da vorne ist das v´, das geht. Wenn das jetzt v´ ist, dann ist v=ex, weil ja eine Stammfunktion von ex auch ex ist und dann muss ich x ableiten und dann sieht man gleich, da kommt 1 raus. Und das ist immer gut, wenn man als Ableitung so eine Konstante hat und dann sieht man schon, das wird wohl was werden, das wird wohl ganz gut und das Integral, das man dann erhält, das wird dann einfacher. Also, einmal langsam vorgehen, das ist auch wichtig, deshalb zeige ich das hier noch mal in allen Einzelheiten. Da vertut man sich auch oft, dass man doch eben nicht v eingesetzt hat, sondern v´ oder solche Sachen. Da muss man wirklich genau vorgehen. Also, wir haben hier das u stehen, das u ist bei uns x, also steht es hier, v steht auch da, v ist ex, ds steht hier. Dann kommt ein Minuszeichen und das Integral, u´ brauchen wir, u´ ist 1 und das habe ich jetzt nicht hingeschrieben, einmal irgendwas bleibt ja immer das Gleiche. So, v von x brauchen wir hier, v  ist da unten, das ist ex, das steht also dann hier. So und jetzt muss ich nur noch ex integrieren und das ist schnell gemacht, das ist nämlich ex. Und als Ganzes bleibt dann x×ex-ex und das klammert man normalerweise aus das ex und man hat dann ex × (x-1). Ja, das war dieses Beispiel dazu, einmal falsch und einmal richtig. Aber wie gesagt, falsch gibt es eigentlich nicht dabei, das kann sein, dass es in der Richtung nicht weiter geht, dann nimmt man halt die andere. Kein Problem. Viel Spaß damit, tschüss.

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