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Transkript Parabelscharen – Beispiele (2)

Hallo! Hier ist eine Funktionenschar gegeben. Die Funktionenschar lautet fk(x)=((4-k2)/k)×(x2-k2) und k soll sich hier zwischen 0 und 2 befinden. Also, gemeint ist die Sache so: Immer, wenn man eine konkrete Zahl für k einsetzt, erhält man eine konkrete, bestimmte Funktion und x ist jeweils hier die Funktionsvariable. Wenn du eine solche Funktionenschar in einer Aufgabe zu Gesicht bekommst, was machst du als Erstes? Du versuchst als erstes dir diese Funktionenscharr so halbwegs vorzustellen. Also, du solltest ein paar Graphen im Kopf haben, die so zu dieser Funktionenschar gehören und um das zu erreichen, fragst du dich als Erstes: Was ist das denn überhaupt für ein Funktionstyp, den ich hier vor mir habe? Du weißt, es gibt ganzrationale Funktionen, es gibt gebrochen rationale Funktionen. Vielleicht kennst du auch Exponentialfunktionen oder trigonometrische Funktionen oder Hyperbeln oder was auch immer. Das solltest du dir als Erstes überlegen: Welcher Funktionstyp ist das? Und hier stellen wir fest, es kommt x nicht im Nenner vor. Wir haben x nicht im Exponenten, und so weiter, und deshalb ist es hier eine ganzrationale Funktion, das heißt, alle Funktionen dieser Funktionenschar sind ganzrationale Funktionen. Ganzrationale Funktionen haben Grade. Der höchste Exponent gibt den Grad der ganzrationalen Funktion an. Hier ist der höchste Exponent, der an dem x steht - natürlich, darum geht es - also der höchste Exponent der Funktionsvariablen, der ist hier 2, das heißt, es ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades und die nennt sich auch Parabel. Das sind alles Parabeln und das ist praktisch. Über Parabeln haben wir schon viel gelernt, zum Beispiel die Scheitelpunktform einer Parabel. Die heißt - ich habe die Scheitelpunkte hier mal aufgeschrieben - Parabel p(x)=a(x-d)2+e. Manchmal steht hier auch ein +d, aber dann muss der Scheitelpunkt woanders sein, wenn da ein +d steht. Ich habe hier den Scheitelpunkt hingeschrieben, falls hier -d steht. Wenn also die Parabel in einer solchen Form vorliegt, dann ist es die Scheitelpunktform, und zwar deshalb, weil man hier den Scheitelpunkt direkt ablesen kann. Hier ist das d, die x-Koordinate des Scheitelpunktes und e ist die y-Koordinate des Scheitelpunktes. Man kann sich das auch so vorstellen, dass eine Parabel um d auf der x-Achse verschoben ist und um e auf der y-Achse, oder entlang der y-Achse, verschoben ist. Um jetzt hier in dieser Funktionenschar diese Scheitelpunktform wiederzuerkennen, lass dich nicht in die Irre führen, diese Klammer ist nicht diese Klammer, das ist etwas anderes. Diese Klammer wird quadriert und die hier nicht, das heißt, man muss hier also erst ausmultiplizieren, das Distributivgesetz anwenden. Dann erhält man hier für die obige Funktionenschar diese untere Form und dann sieht man gleich: wir haben hier eine Zahl, das heißt, wenn man was für k einsetzt, dann steht hier einfach eine Zahl ×x2-eine weitere Zahl, oder +, je nachdem, wie groß das k ist - da kümmere ich mich später drum. Hier steht also eine Zahl. Das heißt, das, was hier hinten kommt, -4k+k3, das ist unser e. Unser d=0, denn hier steht quasi (x-0)2 und das, was hier vorne steht, diese Zahl, das ist das a. Nun wissen wir, das a ist dafür verantwortlich, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wenn der Betrag von a zwischen 0 und 1 liegt, dann ist die Parabel breiter als die Normalparabel, und wenn das a größer als 1 oder kleiner als -1 ist, dann ist die Parabel schmaler als die Normalparabel. Dann können wir also anfangen, uns die Sache hier mal vorzustellen und ein paar Funktionsgraphen dazu aufzuzeichnen. Und zwar ist das hier dann immer interessant, wenn man schon so einen Definitionsbereich gegeben hat für das k, dass man sich mal überlegt: was passiert denn, wenn zum Beispiel k in Richtung 0 geht. Einfach mal nur zum Vorstellen. Dann brauche ich hier erst mal ein Koordinatensystem. Wenn k gegen 0 geht, was passiert hier oben? Dann steht hier eine 4 minus ziemlich wenig geteilt durch etwas, was gegen 0 geht. 4 geteilt durch etwas sehr Kleines ist was sehr Großes, das heißt, dieses a, was hier vorsteht, das wird also sehr groß werden, das heißt, die Parabel wird sehr schmal werden. Dann müssen wir uns noch angucken: Was ist mit dem e? Wie weit ist sie dann nach oben oder unten verschoben? 4×0+03=0 und Minuszeichen habe ich jetzt nicht berücksichtigt. Das ist alles 0. Das heißt, die wird also für k, die kurz vor 0 liegen, sage ich mal so - ist mathematisch nicht ganz exakt, aber so zum Vorstellen ist es ganz gut - dann ist sie also ein kleines bisschen nach unten verschoben und sie wird ziemlich schmal. Das ist diese Parabel. Was passiert, wenn k=1 ist? Nehmen wir mal einfach die Mitte des Definitionsbereiches hier. Dann kann ich es mir hier einfach machen. Ich mache das vielleicht mal hier unten. Wenn ich was durch 1 teile, dann ändert sich das nicht. Dann habe ich hier 4-1 stehen. 12 ist ja auch 1. Dann steht hier also 3×x2-4+1. 13 ist ja 1, -4+3, das heißt, sie ist um 3 nach unten verschoben und der Vorfaktor hier, das a, ist auch gleich 3. Dann ist sie also auch schmaler als die Normalparabel, liegt aber schon etwas tiefer und dann liegt sie vielleicht hier ungefähr. So, das ist diese Situation hier und jetzt muss ich mir noch überlegen, was passiert, wenn k gegen 2 geht? Also, was passiert mit dem Vorfaktor? 22=4, dann würde hier ziemlich wenig stehen, also 4-fast 4 steht dann im Zähler, geteilt durch 2 ändert das auch nicht mehr, dass dann hier eine sehr kleine Zahl steht, die also kurz vor 0 ist, sage ich mal. Es ist eine positive Zahl. Und hier hinten steht dann 4×fast 2, das ist fast 8 + (fast 2)3, das ist auch fast 8. Also, hier würde die Parabel wenig nach unten verschoben sein und sie würde sehr breit werden, das heißt, wir hätten dann so eine Situation wieder: eine breite Parabel, die wenig nach unten verschoben ist und hier so entlang verläuft zum Beispiel. Das ist diese Situation, wenn k gegen 2 geht. Man muss sich hier noch überlegen: Was ist mit den Grenzen? Warum darf k zum Beispiel nicht 0 sein? Das ist schnell erledigt, denn hier haben wir die Situation, dass wir durch k teilen. Wir können nicht durch 0 teilen. Damit wäre diese Funktionenschar für k=0 nicht definiert. Wenn k=2 sein würde, dann würde hier oben eine 0 stehen, denn 4-22 ist ja dann 0 und das heißt, wir hätten einfach 0×irgendetwas, was dahinter kommt. Das ist dann sowieso 0 und wir hätten also keine Parabel mehr. Für alle anderen Zahlen, also wenn k zwischen 0 und 2 liegt, dann ist dieser Vorfaktor oder auch dieses a hier immer positiv, das heißt, wir haben nur Parabeln, die nach oben geöffnet sind. Das ist hier noch wichtig in dem Zusammenhang um sich die Sache vorzustellen. Alle sind mehr oder weniger nach unten verschoben und an den Grenzen geht dann der Scheitelpunkt jeweils zum Koordinatenursprung hin. Eine Verschiebung in x-Richtung hatten wir ja sowieso nicht. Das habe ich hier jetzt sehr ausführlich vorgetragen. Das sollte bei dir im Kopf etwas schneller funktionieren. Wenn du mehr Erfahrung mit solchen Funktionenscharen hast, dann geht das auch relativ flott. Also dann, viel Spaß damit. Tschüss.

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