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Transkript Parabeln verschieben (2)

Moin moin. In diesem Video geht es um quadratische Funktionen und wie sie aussehen, wenn man sie zeichnet. Das Schaubild einer quadratischen Funktion nennt man Parabel. Ich möchte euch jetzt noch mal die Normalparabel zeigen, die zur Funktion y=x² gehört. Dafür habe ich hier rechts dieses Koordinatensystem und ich habe mir dafür eine Schablone ausgeschnitten, die die Form einer Normalparabel hat, und die kann man dann auf das Koordinatensystem drauflegen, sodass die Spitze im Ursprung ist. Und dann kann man da ganz bequem, also mit ein bisschen Handakrobatik, diese Normalparabel zeichnen. Man kann so was natürlich auch ohne Schablone machen, indem man sich die Punkte ausrechnet und dann im Koordinatensystem einzeichnet und das dann so freihändig zeichnet. Aber das kann ich nicht besonders gut und ich möchte euch in diesem Video auch zeigen, wie nützlich solche Schablonen sein können. Damit man die Schablone nicht verdreht, kann man gucken, ob die Punkte (2|4) und (-2|4) auf dem Rand der Schablone liegen. Weil, das sind ja Punkte, die zur Normalparabel gehören. So, das nur noch mal zur Erinnerung. Hier ist sie, die Normalparabel und jetzt wische ich sie auch gleich wieder weg. Weil, jetzt wollen wir uns mal ein bisschen andere und schwierigere Parabeln angucken. Die Funktion, die ich euch jetzt zeige, ist y=(x-2)². Diese Funktion hat dieselben y-Werte wie die Normalparabel. Also y=4, mal als Beispiel, das ist ja 2², und wenn ich hier in dieser Funktion jetzt 2 zum Quadrat haben will, dann setze ich x=4-2=2 und zum Quadrat ist dann 4. Also ich muss das x immer um 2 größer machen, das heißt, ich muss die Parabel auf der x-Achse um 2 Einheiten nach rechts verschieben. So und jetzt kommt die weg und dann schauen wir uns eine weitere Funktion an. y=(x+2)². Nicht mehr -2, sondern +2. So, wie liegt die jetzt? Man kann das auch hier wieder vergleichen mit der Normalparabel. Die Normalparabel hat ja den Punkt (3|9) und hier haben wir den Punkt (1|9), weil, wenn x=1 ist, dann steht da 3 in der Klammer, quadriert ergibt das 9. Und das gilt für alle Punkte. Also man muss hier x um 2 kleiner machen und das heißt, die Parabel ist dann 2 Einheiten weiter links. Und weiter geht es mit der nächsten Funktion. So, ich habe jetzt wieder nicht viel verändert. Ich habe den Faktor ½ davor geschrieben. Und das heißt ja, das jetzt die y-Werte im Vergleich zu der Parabel, die wir davor hatten, nur noch halb so groß sind. Das ist ja so, als wenn ich die Normalparabel nehme und da oben draufdrücke. So kann man sich das vorstellen. Dann drücke ich die Punkte alle nach unten und dann wird die Parabel breiter. Deswegen habe ich da so eine Schablone, die ist breiter als die 1. Schablone. Jetzt lege ich wieder meine Schablone auf das Koordinatensystem. Die verschiebe ich wieder um 2½ nach links, weil da ja die +2 in der Klammer steht, Ich nehme also diese breitere Schablone, man nennt das übrigens Stauchen, wenn man so eine Parabel breiter macht und diese Schablone hier, die ist natürlich auch ein bisschen kurz geraten, aber da hat meine Pappe nicht gereicht, aber das macht ja nichts, weil so eine Parabel, die ist ja sowieso immer unendlich lang. Also die geht ja noch viel weiter als die Schablone. Die Schablone ist ja bloß ein Ausschnitt davon. Huch, ich wollte sie gerade wegwischen, nun ist sie von selber schon gegangen, soll mir auch recht sein. Also jetzt die nächste Funktion: y=3×(x+2)². Jetzt steht also nicht ½× da, sondern 3×(x+2)². Wenn ich jetzt hier also dieses (x+2)² ausgerechnet habe, dann muss ich noch mal diese Zahl verdreifachen und dann habe ich den y-Wert. Was heißt das jetzt für das Schaubild? Wie sieht so eine Parabel jetzt aus? Naja, hier habe ich wieder die Normalparabelschablone und dann haben wir eben schon gesehen, diese gestauchte, diese verbreiterte, da war ½ als Faktor im Spiel und jetzt habe ich hier so eine ganz dünne Schablone. Das kann man auch ganz leicht verstehen, weil wenn ich ×3 rechne, dann ist das ja so, als wenn ich die Normalparabel nehme und da oben dran ziehe, also alle y-Werte größer mache. Dann wird die eben so schmal. Das nennt man strecken. Man könnte jetzt natürlich auch denken, dass man die verschieben muss. Aber warum muss man die nicht verschieben? Wenn ich da diesen Klammerausdruck mit ½ multipliziere, oder mit 3 oder mit irgendeiner anderen Zahl, dann muss ich die nicht verschieben, weil ein Punkt, nämlich die Spitze unten, die bleibt immer liegen. Es gibt ja einen x-Wert, wo dann in der Klammer eine 0 entsteht. Also zum Beispiel hier, x=-2, dann wird in der Klammer da eine 0 rauskommen, und dann ist das ja egal, mit was ich das multipliziere, das bleibt ja immer 0. Und deswegen ändert sich nur die Form von der Parabel, so wie man das hier jetzt sehen kann. Die Spitze ist wieder da bei x=-2 und die ist jetzt einfach so schmal. Jetzt habe ich da einfach mal noch ein - vorgeschrieben. Auch das ist nicht schwer, damit jetzt eine Zeichnung hinzukriegen. - heißt ja, dass die ganzen y-Werte jetzt negativ werden. Und das ist nichts anderes, als wenn ich meine Schablone umdrehe, also einfach mal umklappe, an der x-Achse spiegel und das dann zeichne. Jetzt seht ihr eine Funktion, bei der es noch eine Zahl gibt, die da addiert wird und die nicht mit quadriert wird, also außerhalb der Klammer steht. +1 heißt, alles wird 1 größer. Das ist ganz anschaulich, denke ich mal, da kann man dann wieder dieselbe Schablone nehmen. Man muss die also bloß verschieben auf de y-Achse, um 1 Einheit nach oben. Jetzt habe ich die +1 ersetzt durch eine -3 und das heißt, die Parabel wird jetzt nach unten verschoben. Und zwar um 3 Einheiten. Das heißt, die Spitze ist dann von der x-Achse 3 Einheiten entfernt. Jetzt gibt es noch mal eine Zusammenfassung. Eine allgemeine quadratische Funktion hat die Form   y=a(x-d)²+e. a, d und e sind positive oder negative reelle Zahlen. Am Anfang des Videos haben wir Parabeln entlang der x-Achse verschoben. Wir haben darauf geachtet, dass die Spitze der Parabel bei x=d liegt. Dann haben wir uns a angeguckt, und zwar nur den Zahlenwert. Hier sind jetzt so Betragsstriche, diese senkrechten Striche, das heißt, man lässt das Vorzeichen außer Acht, man nimmt nur den Zahlenwert. Wenn der Betrag von a < 1 ist, dann ist diese Parabel breiter als eine Normalparabel, das nennt man dann stauchen. Die Parabel ist gestaucht. Wenn der Betrag von a > 1 ist, dann ist die Parabel schmaler als eine Normalparabel, man sagt, sie ist gestreckt. Wenn der Betrag von a gerade gleich 1 ist, dann ist die Parabel genau so geformt wie eine Normalparabel. Dann muss man die bloß noch verschieben zum Zeichnen und eventuell noch spiegeln. Und dann haben wir angeguckt, was a für Vorzeichen hat. a kann ja zum Beispiel > 0 sein, also positiv. Dann ist so eine Parabel nach oben geöffnet, so wie man das jetzt hier sehen kann. Jetzt kann a auch negativ sein, also < 0. Dann muss man die Parabel umklappen, das heißt, man spiegelt sie an der x-Achse. Man sagt dann, die Parabel ist nach unten geöffnet. Und zu guter Letzt haben wir dann die Parabel noch mal verschoben, weil wir dann dieses e ins Spiel gebracht haben. Da haben wir sie nicht an der x-Achse entlang geschoben, sondern an der y-Achse, sodass die Spitze bei y=e lag. Die Spitze von der Parabel, die nennt man Scheitelpunkt. Und dieses Verschieben, das kann man auch zusammenfassen, indem man einfach sich anguckt, wo liegt der Scheitelpunkt, der hat die Koordinaten (d|e). Das ist, wie schon gesagt, diese Spitze, da wo die Parabel am stärksten gekrümmt ist. Wenn ihr also in Zukunft eine Parabel zeichnen wollt, dann könnt ihr euch einfach den Scheitelpunkt markieren, und dann guckt ihr, ist die Parabel nach oben geöffnet, nach unten geöffnet, ist sie gestreckt, gestaucht oder ist das einfach eine verschobene Normalparabel, und dann könnt ihr die so zeichnen. Nun sind wir auch schon am Ende des Videos. Ich hoffe, es hat Spaß gemacht und, dass ihr in Zukunft auch noch viel Spaß mit Parabeln habt.  

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2 Kommentare
  1. Default

    top erklärt und sehr verständlich :)

    Von Rafael Kolonko, vor etwa einem Monat
  2. Default

    Sehr gut erklärt, vor allem ausführlich genug und im richtigen Tempo!

    Von Jolana1949 1, vor 9 Monaten