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Transkript Ortlinie und Ortskurve bei ganzrationalen Funktionen – Beispiele

Hi. In diesem Video zeige ich euch, wie ihr die Ortskurve einer Funktionsschar bestimmt. Eine Funktionsschar hat ja mehrere Funktionen und die Ortskurve CH verläuft durch die Hochpunkte Ht der Funktionen der Funktionsschar. Wenn wir die Ortskurve bestimmen wollen, brauchen wir einen Hochpunkt und wir brauchen seine Koordinaten in Abhängigkeit von t. Anhand dieser Koordinaten können wir dann die Ortskurve bestimmen, denn die Ortskurve verläuft linear durch die Hochpunkte der Funktionen. Wenn wir die Koordinaten der Ortskurve haben, dann bestimmen wir durch Eliminierung von t die Ortskurve. Aber genug Theorie, machen wir das Ganze mal. Gegeben sei die Funktion ft(x)=2t2x3-12tx2+18x, wobei t>0 ist und x ist. Wenn wir jetzt die Ortskurve bestimmen wollen, dann brauchen wir die Hochpunkte. Also wir bestimmen jetzt erst mal einen Hochpunkt in Abhängigkeit von t. Dafür bilden wir die Ableitung der Funktion. Das Ganze kann man noch ein bisschen zusammenfassen. Und die 2. Ableitung brauchen wir auch noch. Gut, jetzt setzen wir die 1. Ableitung gleich 0. Das Ganze teilen wir durch 6t2, 24÷6=4 und t÷t2 macht nur noch ein t im Nenner. 18÷6 sind 3 und durch t2. Gut, jetzt können wir anhand der pq-Formel nach x1 und x2 auflösen. x1 und x2 sind gleich -p/2, also 2/t-p/22, also 4t2-3t2. 4t2-3t2 macht 1t2 und die \sqrt(1/t2)=1/t. x1 sind also 2/t+1/t und x2 sind gleich 2/t-1/t. 2-1=1.  ok, wir wollen jetzt rausfinden, ob einer dieser beiden Punkte der Extremwert für einen Hochpunkt ist. Und dafür setzen wir jetzt in die 2. Ableitung ein. 12t2×3/t, hier können wir das t voneinander wegkürzen und 12×3=36, also haben wir 36t-24t=12t. Da t>0 ist, sind 12t auch >0 und damit haben wir bei x1 einen Tiefpunkt. Aber das brauchen wir jetzt nicht, wir brauchen nämlich den Hochpunkt. Also setzen wir jetzt x2 ein und sehen, ob wir mehr Glück haben. Hier können wir wieder das t2 mit dem Nenner kürzen und das ×1 können wir gleich weglassen. Also haben wir 12t-24t, das macht gleich -12t. Und da t>0 ist, sind -12t<0. Also haben wir hier einen Hochpunkt. Wir haben also einen Hochpunkt mit der x-Koordinate 1/t. Das bedeutet, alle Hochpunkte der Funktionsschar lassen sich anhand von t abbilden. Jetzt setzen wir 1/t in die Ursprungsfunktion ein, um auch den y-Wert zu ermitteln. So, erfolgreich eingesetzt. Jetzt kürzen wir die t's noch weg. Dann können wir t auch noch direkt unter die Zahlen schreiben. Wir haben also 2-12+18, das alles jeweils geteilt durch t und das sind dann gleich 8/t. Gut, damit haben wir jetzt die Koordinaten der Hochpunkte. Wir wissen also, der y-Wert beträgt gleich 8/t. Das können wir ja noch mal anders aufschreiben. Das wär ja gleich 8×1/t. Und 1/t ist ja die dazu passende x-Stelle. Und die Ortskurve verläuft ja linear. Da nehmen wir jetzt einfach den y-Wert, so wie wir es hier hatten, sind gleich 8×x. Einfach den jeweiligen x-Wert eingesetzt.

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9 Kommentare
  1. Printimage

    Hallo Zana,

    entschuldige die späte Antwort ich habe deine Frage übersehen.
    Der Wert für x2 beträgt 1/t, dort steht nicht x hoch 2.

    Hallo Jfgutenmorgen, g(x)=8*x ist leider falsch.
    Der TP beträgt (3/t | 0), somit gibt es nur einen Punkt.

    LG

    Von Steph Richter, vor fast 2 Jahren
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    Ich habe bei der Ortskurve des Tiefpunktes auch g(x)=8*x raus ..
    Das kann doch eigentlich nicht sein, oder?

    Von Jfgutenmorgen, vor fast 2 Jahren
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    wie kommt man den von 1 durch t auf x hoch 2

    Von Zana Bvb, vor mehr als 2 Jahren
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    super erklärt - hab selbst ich verstanden :DD
    vielleicht nicht so viel die arme bewegen, das lenkt nämlich ab, aber sonst ;)

    Von Alsch, vor fast 3 Jahren
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    Hallo Akara,
    was ich hier angewandt habe ist das Kommutativgesetzt (oder auch manchmal Vertauschungsgesetz genannt)

    a * b = b * a

    So habe ich den Faktor 3, nach vorne geholt und aus 2*3 = 6 gemacht.
    Anbei ein Video zum Kommutativgesetz. Bitte melde dich wenn dir diese Erklärung nicht ausreicht =)

    Liebe Grüße

    Hier ein Video zum Kommutativgesetz

    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kommutativ-assoziativ-und-distributivgesetz-klammer1

    Von Steph Richter, vor etwa 3 Jahren
  1. Default

    Eigentlich gutes Video, der allgemeine Vorgang ist auch verständlich. Aber als du die 2.Ableitung zusammengefasst hast, wurde es für mich schwerer. Was ich nicht verstehe und nachvollziehen kann ist, wie man aus f(x)=2t^2 * 3x^2 f(x)=6t^2 * x^2 machen kann.

    Von Akarama, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Danke sehr gut erklärt und auch gutes Beispiel ;)

    Von Henninglev, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    bitte wisch nicht immer alles weg.. so kommt man ziemlich raus.. :(

    Von Huber Julia, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    ne Frage zum Schluss fänd ich schon angemessen!

    Von Jackx, vor fast 5 Jahren
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