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Transkript Oktaeder – Volumen

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, ich begrüßte euch herzlich zum Video Oktaedervolumen! Es wäre nicht schlecht, wenn ihr bereits das Video "Oktaederoberfläche" angeschaut habt. Dieses Video ist vorgesehen für etwa Schüler der 10. Klasse im 2. Schulhalbjahr. Jüngere und ältere Hörer oder Zuschauer sind gern gesehen. Das Volumen eines Oktaeders kann man aus dem Volumen zweier Pyramiden, die kongruent sind und mit den Grundflächen aneinander haften, bestimmen. Die Grundflächen dieser Pyramiden sind klar, es handelt sich hierbei um Quadrate. Also Ag=A²=A², das ist klar. Jetzt müssen wir die Höhe h der Pyramide bestimmen. Für die Bestimmung von h möchte ich die linke Zeichnung verwenden. h, die Kante des Oktaeders a und sie Seite s bilden ein rechtwinkliges Dreieck. a ist dabei Hypotenuse, s und a Katheten. h wollen wir bestimmen, a als Hypotenuse kennen wir, wir müssen nur noch s÷a ausdrücken. Das funktioniert folgendermaßen: Ich verwende eine kleine Skizze der Grundseite einer der Pyramiden. Das ist ein Quadrat, die beiden Seiten sind a und a, die Diagonale ist 2s, nämlich die zweifache Länge von s. Wir verwenden nun den Lehrsatz des Pythagoras und erhalten (2s)²=a²+a². Wir erhalten in der Zeile darunter 4s²=2a². Wir dividieren beide Seiten durch zwei und erhalten s²=½a², dritte Zeile. Nun ziehen wir die Wurzel: Wir schreiben zunächst das Wurzelzeichen über beide Terme links und rechts, vierte Zeile. In der fünften Zeile erhalten wir das Ergebnis: (links)s=(rechts)1/(2\sqrt)×a. Wir erweitern nun den Zähler und den Nenner mit Wurzel 2. Ich mache in der Mitte, direkt unter der Skizze des Quadrates weiter: s=(1×2\sqrt/2\sqrt×2\sqrt)×a. Zeile darunter: s=(2\sqrt/2)×a oder ½2\sqrt×a. Jetzt können wir den Lehrsatz des Pytagoras für a, s und h anwenden a²=s²+h². Wir subtrahieren s² und vertauschen die Seiten und erhalten h²=a²-s². Für s setzen wir nun den erhaltenen Wert ein und erhalten in der Zeile darunter: h²=a²-(½×2\sqrt×a)². Ich mache jetzt rechts weiter: h²=a²-2/4a² oder =a²-½a². Nächste Zeile: h²=½a². Nun ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Zunächst schreiben wir in der dritten Zeile das Wurzelzeichen über die Terme auf beiden Seiten. h²\sqrt=h und vierte Zeile, wir erhalten für die rechte Seite: 1/2\sqrt×a. Nach Erweiterung mit 2\sqrt, was wir bereits durchgeführt haben, erhalten wir in der fünften Zeile: h=½2\sqrt×a. Nun haben wir auch die zweite Größe, die wir benötigen. Ich übertrage sie noch nach oben und dann können wir zum Finale blasen. So, wir schauen uns nun das Volumen der Pyramide an: PPy=1/3ag×h, 1/3×Grundfläche×Höhe. Grundfläche ist a², also Zeile darunter: Volumen der Pyramide = 1/3a²×der Höhe und die haben wir ermittelt, ½2\sqrt×a. Das Volumen des Oktaeders ist das verdoppelte Volumen der Pyramide, also 2×2/6\sqrt×a³. Wir kürzen 2 und 6 gegeneinander und erhalten als Endergebnis 2/3\sqrt×a³ ist das Volumen der Pyramide. Natürlich habe ich das Symbol für das Volumen der Pyramide mit V gewählt. Wir erhalten also V=2/3\sqrt×a³. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit, vielleicht hat es euch ein wenig Spaß bereitet. Alles Gute, tschüss!  

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Img 5213

    Gut gelungen! Gefällt mir.

    Von Luca Franziskowski, vor etwa einem Monat