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Transkript Oberflächeninhalt und Volumen eines Prismas berechnen – Pralinenschachtel

Hallo, liebe Mathematikfreundinnen und Mathematikfreunde! Herzlich willkommen zum Video "Die Pralinenschachtel als Prisma in Herzform". Also, ich habe so eine Schachtel mit Pralinen geschenkt bekommen. Nun ist sie leer gegessen. Mich hat nun mal interessiert, um welche geometrische Figur es sich dabei handelt. Was meint ihr? Ja, richtig, es ist sinnvoll, diesen Körper als Prisma zu bezeichnen. Was interessiert nun bei diesem Körper?  Ja, nun einmal das Fassungsvermögen. Das Fassungsvermögen können wir ermitteln, indem wir das Volumen des Körpers berechnen. Das Volumen wird mit dem Symbol V verdeutlicht. Interessant ist auch die Frage nach dem Materialverbrauch, um diese Schachtel herzustellen. Um diese Frage zu beantworten, müssen wir den Oberflächeninhalt der Pralinenschachtel berechnen. Der Oberflächeninhalt eines Körpers wird mit dem Symbol AO abgekürzt. Wie bestimmen wir das Volumen eines Prismas? Nun, es ist eigentlich vom Prinzip ganz einfach: V=A×h, nämlich die Grundfläche multipliziert mit der Höhe. Der Oberflächeninhalt AO eines Prismas setzt sich aus 2 Teilen zusammen. Zum einen muss man den Flächeninhalt der Grundfläche A berechnen und multipliziert ihn mit 2, denn man hat eine Grundfläche und eine Deckfläche, die beide gleich sind und damit die gleichen Flächeninhalte besitzen. Der 2. Teil zur Berechnung von AO ist die Mantelfläche, wie hier gezeigt. Das ist die Fläche, die die Grundfläche und Deckfläche zusammenhält. Wir berechnen also den Flächeninhalt der Mantelfläche M. So, machen wir uns nun ans Einsammeln der Daten: Wir messen die Höhe h aus. Das ist kein großes Problem. Wir messen mit dem Lineal - 3,5 cm. Viel schwieriger hingegen gestaltet sich die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche, denn es ist ein schönes Herz, aber den Flächeninhalt zu bestimmen, ist nicht so einfach. Daher ist die Bestimmung des Flächeninhaltes der Grundfläche A ein wirkliches Problem. Lassen wir unserer Fantasie doch einmal freien Lauf. Im oberen Teil unseres Herzens können wir zwei Kreise lokalisieren, wie hier durch die beiden Toilettenpapierrollen dargestellt. Darunter kann man mit guter Näherung ein großes Dreieck erkennen. Und zwischen ihm und den beiden Rollen ein kleines. Links und rechts außen noch zwei kleine flächengleiche Dreiecke. Damit ist die Strategie zur Bestimmung von A abgesteckt. Bestimmen wir zunächst A: Ein Teil des Flächeninhaltes von A ist der zweifache Flächeninhalt eines Kreises. Der 2. Teil, der zum Flächeninhalt von A gehört, ist das große Dreieck unten. Der 3. Teil schließlich, wie jetzt hier dargestellt, ist der Rest, nämlich 1 kleineres Dreieck und 2 ganz kleine flächengleiche. Den Flächeninhalt eines Kreises können wir nach der bekannten Formel π×r², wobei r der Radius des Kreises ist, berechnen. Nach einigen Messungen und einigem Hin und her habe ich schließlich herausbekommen, dass der Durchmesser eines der betrachteten Kreise 11 cm beträgt: d=11 cm. Daraus folgt für den Radius r=5,5 cm. Wir rechnen also AKreis=π×(5,5cm)². Mithilfe des Taschenrechners berechnen wir: AKreis=95 cm². Oder: 2×AKreis=190 cm². So, nun muss ich den Flächeninhalt des großen Dreiecks A∆ berechnen. Die Grundseite liegt unterhalb der beiden Toilettenpapierrollen und die Höhe ergibt sich entsprechend bis zur unteren Spitze des Herzens. Durch mehrfaches Messen und Überprüfen habe ich für das große Dreieck erhalten: Grundseite g=20 cm und die dazugehörige Höhe hg=9 cm. Nach der Dreiecksformel gilt: A∆=g×hg÷2. Wir setzen ein 20cm×9xcm÷2. Wir dividieren nun 20÷2 und erhalten: A∆=10×9cm. Es ergibt sich somit; A∆=90 cm². Was übrig bleibt sind nun die kleinen Hupselpupseldreiecke. Mit dem roten Pfeil in der Mitte gekennzeichnet und die noch viel schlimmeren beiden kleineren Dreiecke links und rechts. Schlimm meine ich jetzt, was die Messerei betrifft. Zunächst nehme ich mir das Dreieck in der Mitte vor. Es hat praktisch bei den Seiten eine Krümmung, ist also nicht genau ein Dreieck. Aber seien wir mal etwas großzügig. Ich erhalte für den Flächeninhalt dieses Dreiecks: A∆1=6×3,5÷2cm², 6 ist die Grundseite und 3,5 die dazugehörige Höhe. Ich kürze 6 gegen 2 und erhalte 3×3,5=10,5cm². Nun messe ich Grundseite und dazugehörige Höhe für eines der beiden Dreiecke an den Seiten aus. Ihr seht, ich tu mich damit ganz schön schwer. Für die Grundseite messe ich 4,5 cm aus, für die Höhe 1,5 cm. Ich verwende nun die Dreiecksformel und den Taschenrechner. Als Ergebnis erhalte ich für den Flächeninhalt A∆2, des kleinen Dreiecks, 3,375 cm². Ich schreibe die Ergebnisse für ARest noch einmal zusammen und erhalte: A∆1=10,5 cm². Und darunter: A∆2=3,375 cm². ARest=A∆1+2A∆2. Wie setzt sich nun der Flächeninhalt der Grundfläche A zusammen? Er ist =2×AKreis+A∆+A∆1+2×A∆2. Die einzelnen Teilterme von A möchte ich noch einmal anschaulich darstellen. AKreis, Kreisflächeninhalte, 2-mal, werden durch die beiden Toilettenpapierrollen symbolisiert. Der Flächeninhalt des großen Dreiecks liegt da drunter. Seine Grundseite liegt etwas oberhalb des roten Streifens. A∆1 ist der Flächeninhalt des Dreiecks zwischen den beiden Toilettenpapierrollen. Und A∆2 ist der Flächeninhalt jedes der Dreiecke an den Seiten neben den Rollen, wir haben also 2. Jetzt können wir direkt einsetzen und rechnen. Wir schreiben: 190cm²+90cm²+10,5cm²+2×3,375cm². Wir machen einen Überschlag und erhalten etwa 300 cm². Der Taschenrechnung liefert etwa 297 cm². Also der Überschlag war recht gut. Somit haben wir A errechnet. Uns fehlt nur noch die Mantelfläche, also diese Fläche, die Grund- und Deckfläche zusammenhält. Am besten stellt man sich diese Fläche als langes Rechteck vor, das eine Länge von U hat, das ist nämlich genau der Umfang von Grund- und der Deckfläche und eine Breite von h, das ist nämlich die Höhe des Prismas. U erhalten wir durch Messung. Und wie, das möchte ich euch jetzt zeigen. Ich nehme ein Stückchen Toilettenpapier und wickle es um die eine Hälfte des Herzens, oben von der Kerbe bis unten zur Spitze. Dieses Stückchen nehme ich nun und halte es gegen mein Lineal. Ich habe einen Wert von 36 cm erhalten. Den muss ich nur noch verdoppeln und habe somit den Umfang meines Prismas erhalten: U=72 cm. Und M=U×h. Also M=72cm×3,5cm. Das kann man sogar im Kopf ausrechnen. Habt ihr es ausgerechnet? Richtig, M=252 cm². Somit haben wir alle Daten gesammelt, um Volumen und Oberflächeninhalt unseres Prismas mit Herzform auszurechnen. Das Volumen V ist einfach zu bestimmen, denn A haben wir mit 297 cm² berechnet. Die Höhe h haben wir ausgemessen: 3,5 cm. Somit schreiben wir: V=297cm²×3,5cm. Das Ergebnis berechne ich mit dem Taschenrechner. Ich erhalte: V=1039,5. Das ist ein Wert, der etwas mehr als 1 l ist. Na, immerhin! Der Oberflächeninhalt AO lässt sich einfach aus dem Grundflächeninhalt A und dem Mantelflächeninhalt M bestimmen: AO=2×297cm²+252cm². Wir erhalten: AO=846 cm². Na, das war eine ganz schöne Schufterei, aber es hat sich gelohnt, oder was meint ihr? Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg - tschüss!

Informationen zum Video
4 Kommentare
  1. 001

    Dankeschön.

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    geniales Video, super anschaulich erklärt, Daumen hoch

    Von Matthiasraschke, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    DANKE !
    Endlich weiß ich ,wie man den Oberflächeninhalt und die Mantelfläche berechnet.:D :D :D :D :D :D :D :D

    Von Leoni Knipp, vor mehr als 3 Jahren
  4. Frisch%20auf

    voll gutes Video :)

    Von Johnny 14, vor fast 5 Jahren