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Transkript Normalverteilung – Standardisierung

Hallo, es gibt Möglichkeiten Messwerte zu bewerten und da sind vor allem zu nennen: Die kriteriumsorientierte Bewertung und die normorientierte Bewertung. Zur kriteriumsorientierten Bewertung ein kleines Beispiel. Angenommen du hast eine Klausur wiederbekommen und sagst mir jetzt, du hast 52 Punkte, dann würde ich wahrscheinlich sagen: Herzlichen Glückwunsch, aber was heißt das jetzt? Hast du bestanden oder hast du nicht bestanden? Das heißt, das Kriterium, um die Leistung zu bewerten, um die 52 Punkte zu bewerten, ist nun bestanden oder nicht bestanden. Und deshalb heißt das in diesem Punkt dann kriteriumsorientierte Bewertung. Allgemein ist dazu gar nicht so viel zu zu sagen, denn diese Kriterien ergeben sich natürlich jeweils aus dem Sachzusammenhang. Es gibt ja auch zum Beispiel die Prüfung, die man ablegen muss, wenn man Deutscher werden will. Zumindest ist es ja in manchen Bundesländern so. Ich weiß nicht, ob es in allen so ist. Ist auch egal. Dann ist das Kriterium nach der Prüfung: Darfst du jetzt Deutscher werden oder darfst du jetzt nicht Deutscher werden. Also das ergibt sich jeweils aus dem Sachzusammenhang und deshalb muss das da dann noch mal, in jedem Fall, behandelt werden. Es gibt die normorientierte Bewertung. Das bedeutet, man vergleicht Messwerte mit der Allgemeinheit aller Messwerte, die man hat, oder man vergleicht zum Beispiel mit dem Mittelwert. Das habe ich hier auch schon mal hingeschrieben. Man könnte einfach sagen ich habe einen Messwert und ziehe immer den Mittelwert davon ab, um dann zu erkenne: Wie weit ist denn dieser Messwert nach oben oder nach unten von diesem Mittelwert entfernt? Wenn man aber zum Beispiel irgendwelche Punktesysteme hat, dann ist es nicht so einfach zu erkenne. Ist jetzt eine Abweichung von 5 Punkten nach oben oder nach unten, viel oder wenig? Das heißt, man muss schon die Gesamtheit der Messwerte mit einbeziehen. Zum Beispiel könnte es ja sein, dass meine Kreditwürdigkeit bewertet wird und ich bin jetzt, was weiß ich, 5 Punkte unter dem Mittelwert dann ist die Frage: Ist das jetzt viel oder wenig? Das weiß man so nicht. Wenn man insgesamt 10000 Punkte erreichen kann und man ist vielleicht 5 Punkte drunter, dann könnte das vielleicht wenig sein, es könnte aber auch viel sein. Das ist so noch nicht klar. Um diese Klarheit aber zu schaffen, kann man aber Folgendes machen. Man teilt Xi - Xquer/s, nämlich die Standardabweichung. Das habe ich hier noch mal aufgeschrieben. Das, was hier steht, ist halt die Standardabweichung, und hier haben wir Messwert -  Mittelwert, und diese Werte heißen dann z-Werte. Deshalb nennt sich das auch z-Transformation oder z-Standardisierung. Diese z-Werte geben jetzt an, wie weit ein Messwert nach oben oder nach unten vom Mittelwert abweicht, und zwar in der Einheit: Also wenn jetzt die Standardabweichung 1 ist und man weicht 5 Einheiten nach unten vom Mittelwert ab, dann haben wir eine Abweichung von 5-mal der Standardabweichung. Also wenn jetzt die Standardabweichung 1 ist und man weicht 5 Einheiten nach unten vom Mittelwert ab, dann haben wir eine Abweichung von 5-mal der Standardabweichung. In dem Fall, wenn jetzt die Standardabweichung 2,5 ist, würde, wenn hier oben jetzt die Differenz -5 steht, hier also -2 rauskommen. In dem Fall, wenn jetzt die Standardabweichung 2,5 ist, würde, wenn hier oben jetzt die Differenz -5 steht, hier also -2 rauskommen. Dann ist der z-Wert -2. Wenn die Standardabweichung 1 ist und hier auch wieder -5 steht, dann ist der z-Wert -5. An solchen z-Werten kann man also erkennen um das wievielfache der Standardabweichung ein Messwert vom Mittelwert abweicht. Und das möchte ich einmal ein bisschen illustrieren hier an einigen Säulendiagrammen. Für die Leute, die das schon kennen, das sind Binomialverteilungen für verschiedene n, p ist jeweils 0,5. Wenn du das noch nicht gehabt hast, ist es egal, kommt später. Also, wenn unser Säulendiagramm so aussieht, hier sind einzelne Einheiten, das ist nicht so gut zu erkenne, aber macht in dem Fall nichts. Der Mittelwert ist hier, eine Abweichung von 5 würde ungefähr hier sein. Von 5 nach unten, dann ist es hier, und das ist ungefähr das 3,8-fache der Standardabweichung glaube hier in dem Fall. Habe ich jetzt so geraten, ungefähr. Die 3,8-fache Abweichung nach unten ist die Abweichung von 5 Punkten vom Mittelwert oder von 5 Einheiten. Hier sähe das schon anders aus, wenn die Verteilung sowieso, das Säulendiagramm sowieso, etwas breiter ist, dann sind wir hier ungefähr. Das müsste dann die ungefähr 2,2-fache, das 2,2-fache der Standardabweichung nach unten ist es in dem Fall. Ja und hier ist es schon weniger von der Standardabweichung. Die Standardabweichung wir immer größer, je breiter dieses Schaubild wird. Dieses Schaubild ist noch breiter und die Standardabweichung ist noch größer, und wenn wir hier 5 Punkte nach unten abweichen, dann ist das genau die einfache Standardabweichung in dem Fall. Also glaube ich zumindest, müsste so hinkommen. Das dient nur so der Veranschaulichung, damit du eine Vorstellung davon hast. So, dann gibt es noch zwei kleine Eigenschaften, auf die ich hinweisen möchte, von solchen z-Werten. Wenn wir diese x-Werte alle in z-Werte transformieren, durch diese Transformation hier, dann erhalten wir einen neuen Mittelwert, ein neues arithmetisches Mittel, Zquer, und das ist dann gleich 0. Das heißt also, klar, wenn wir immer nur die Abstände vom Mittelwert nehmen, dann ist die Mitte bei 0. Dieses Schaubild ist noch breiter und die Standardabweichung ist noch größer, und wenn wir hier 5 Punkte nach unten abweichen, dann ist das genau die einfache Standardabweichung in dem Fall. Das kann man sich ein bisschen deutlich machen, wenn man sich vorstellt, dass man hier diese x-Werte nimmt, und diese x-Werte zunächst einmal alle durch diese Standardabweichung teilt. Und das, was da herauskommt, wieder in die Formel für die Standardabweichung einsetzt. Da stellt man fest, das man hier ja, also wenn man jetzt mal nur die Formel der Standardabweichung nimm, deshalb habe ich die ja auch hingeschrieben. Das kann man sich ein bisschen deutlich machen, wenn man sich vorstellt, dass man hier diese x-Werte nimmt, und diese x-Werte zunächst einmal alle durch diese Standardabweichung teilt. Und wenn man dann diese Standardabweichung hier ausrechnet, muss man noch diesen Faktor, den man ausgeklammert hat, auch noch multiplizieren. Das kann man sich ein bisschen deutlich machen, wenn man sich vorstellt, dass man hier diese x-Werte nimmt, und diese x-Werte zunächst einmal alle durch diese Standardabweichung teilt. Ich mache das jetzt hier nicht im Einzelnen vor, weil es einfach nur viele Symbole sind, die man hinschreiben muss. Und letztendlich benutzt man das Distributivgesetz, das ist mathematisch dann nicht so wahnsinnig interessant. Ja, das war es zu z-Transformation. Viel Spaß damit. Tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    find seine Erklärungen zu "bla bla" lastig. Jona`s Videos sind da viel verständlicher und greifbarer!

    Von Quitmann, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    ich suche ein video der z-transformation um dgls zu lösen. ähnlich wie laplace-transformation und fourrier.
    das hier is was ganz anderes

    Von Saf, vor fast 5 Jahren