Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Normalform und Scheitelform einer quadratischen Funktion

Hallo, in diesem Video wollen wir über Quadratische Funktionen sprechen, und zwar genauer, was die Normalform einer Quadratischen Funktion ist, was die Scheitelform ist und wie man von der einen zu der anderen Form kommt und umgekehrt. Kommen wir also zuerst zur Normalform. Wiederholen wir noch einmal kurz, was wir schon über die Graphen von Quadratischen Funktionen wissen. Die heißen Parabeln, und was wir hier sehen, ist der Graph der Funktion y=x². Das ist die Normalparabel. So eine Parabel kann nach oben geöffnet sein und sie kann nach unten geöffnet sein. Sie kann verschoben sein und zusätzlich auch noch gestaucht oder gestreckt. Wie diese Spiegelung, Stauchung oder Streckung und Verschiebung genau aussieht, dafür sorgen die Zahlen vor den x-Potenzen in der Funktionsgleichung, die heißen auch Parameter. Und in der Normalform werden die meistens mit a, b und c bezeichnet. Leider kann man aber in der Normalform an diesen Parametern nicht genau ablesen, wie der Graph aussieht. Nehmen wir beispielsweise einmal die Funktion y=2x²-4x-2. Dann ist also a=2, b=-4,c=-2. Der Graph dieser Funktion sieht so aus, und man kann aber nicht direkt aus den Parametern ablesen, wie es zu diesem Graphen kommt. Bei der Scheitelform sieht das schon ganz anders aus. Die Scheitelform der Funktion sieht allgemein so aus. y=a(x-d)²+e. Als Beispiel nehmen wir hier mal 2(x-1)²-4. Dann ist also a=2, d=1 und e=-4. Und das Gute daran ist jetzt, dass man an den Parametern gleich den Scheitelpunkt des Graphen ablesen kann. Der hat nämlich die Koordinaten d, e, beziehungsweise 1, -4. Das heißt, das d sagt uns, um wie viele Einheiten die Normalparabel entlang der x-Achse verschoben wurde, und das e sagt uns, um wie viele Einheiten gegenüber der Normalparabel der Graph entlang der y-Achse verschoben wurde. Das a sagt uns, mit welchem Faktor der Graph gestreckt oder gestaucht wurde. Wenn das a negativ ist, dann wurde er gespiegelt. In unserem Fall ist hier also mit dem Faktor 2 gestreckt worden. Als Nächstes schauen, wir uns jetzt an, wie man rechnerisch von der Scheitelform zur Normalform kommt. Dazu nehmen wir uns unser Beispiel von gerade und auf der rechten Seite die allgemeine Scheitelform. Im ersten Schritt berechnen wir den Klammerausdruck mithilfe der binomischen Formel. Dann ist also y=2 mal - jetzt die Binomische Formel anwenden - x²-2x+1, das lassen wir in der Klammern und -4 bleibt stehen. Auf der rechten Seite ist das y = a - das bleibt stehen - mal x²-2dx+d², Klammer zu, +e. Danach wird jetzt einfach die Klammer aufgelöst, das heißt wir multiplizieren 2 mit jedem Summanden aus der Klammer, das gibt dann 2x²-4x+2-4 und auf der rechten Seite ax²-2adx+ad²+e. Und jetzt brauchen wir links nur noch die 2 und die -4 zusammenfassen und dann sind wir schon bei der Normalform. Und auch rechts haben wir schon die Normalform, denn wir haben ja eine Summe von x-Potenzen und die x-Potenzen sind x² und x und eine absolute Zahl. Also könne wir denen genau die Parameter a, b, c zuordnen. Das a der Normalform ist auch das a der Scheitelform, deswegen haben wir da auch den gleichen Namen gewählt. Das b von der Normalform entspricht -2ad von der Scheitelform und das c von der Normalform entspricht ad2+e von er Scheitelform. Wir haben also jetzt zwei Gleichungen, die uns sozusagen die Beziehungen zwischen den Parametern der Scheitelform und den Parametern der Normalform genau angeben. Und das werden wir uns jetzt auch zunutze machen, wenn wir von der Normalform in die Scheitelform umrechnen. Wir behalten einmal die beiden Gleichungen im Kopf und wir behalten die Normalform unserer Beispielfunktion. Dann wissen wir also schon, dass das a=2, b=-4 und c=-2, und was wir jetzt suchen, ist das d und das e von der Scheitelform. Erst einmal stellen wir die erste Gleichung um, denn wir suchen ja d, also stellen wir sie nach d um, dann teilen wir durch - 2 und durch a und erhalten -b/(2a)=d. Und da können wir jetzt a und b einsetzen, b ist ja -4 und a ist 2. Da ergibt sich -(-4)((2×2)=1. Dann ist d also gleich 1. Die zweite Gleichung brauchen wir, um e zu bestimmen. Erst einmal stellen wir die erste Gleichung um, denn wir suchen ja d, also stellen wir sie nach d um, dann teilen wir durch - 2 und durch a und erhalten -b/(2a)=d. Dann ist also e=c-ad², und da setzen wir jetzt ein für c -2, für a 2 und für d 1. Und dann erhalten wir e=-4. Und jetzt haben wir die Parameter für unsere Scheitelform und die lautet dann y=2(x-2)-4, also genau unsere Scheitelform, die wir eigentlich eben schon hatten, von der wir ausgegangen sind. Jetzt möchte ich euch noch einen anderen Weg zeigen, wie man auf das e kommt. Vielleicht möchte man sich nicht so viele Formeln merken. Also wenn man das d einmal hat, dann braucht man eigentlich nur den Funktionswert d in der Funktion von y auszurechnen, also das d in y einsetzen. Wir berechnen also y(1)=2×1²-4×1-2. Ich habe also unten in der Funktionsgleichung für x 1 eingesetzt, und da erhalte ich auch -4. Und da finde ich, dass das ein bisschen komfortabler, weil man sich eben die zweite Formel nicht merken muss. Es gibt auch noch eine dritte Möglichkeit, das d und das e zu bestimmen, das ist die Quadratische Ergänzung, aber die wird vielleicht einmal in einem anderen Video behandelt. Jetzt machen wir die ganze Prozedur noch einmal mit einem Beispiel. Wir haben eine Scheitelform gegeben, nämlich y=½(x-6)²+4. Da wissen wir also schon einmal, dass d=6, e=4 und a=½. Jetzt lösen wir zuerst die Klammer auf mit der binomischen Formel. Dann multiplizieren wir ½ mit dem, was in der Klammer steht und fassen dann noch die Zahlen hinten zusammen, da ergibt sich ½x²-6x+22. Und da können wir b und c ablesen. b=-6 und c=22. Jetzt noch einmal ein umgekehrtes Beispiel. Wir holen uns wieder unsere beiden Formeln her und nehmen als Normalform y=4x²-4x+7. Dann ist also a=4, b=-4 und c=7. Diesmal lasse ich einmal die Formel so stehen, wie sie ist, und setze einfach ein. Also b=-4 und das ist -4=-2×4×d. Dann ist also -4=-8×d, und daraus ergibt sich d= ½. Das schreiben wir uns schon einmal auf, und dann setzen wir in die Gleichung alles ein, was wir schon haben c ist 7, a ist ½ und e kennen wir noch nicht und dann kommen wir auf 7=4×¼+e, also 7=1+e und damit ist e=6. Jetzt will ich noch mal den zweiten Weg zeigen. Wenn wir also d schon ausgerechnet haben und das in y einsetzen, um e herauszubekommen. Wir berechnen also y(¼)=4×(½)²-4×½ +7 und, wer hätte es gedacht, da kommt auch 6 heraus. So, dann fassen wir noch mal alles zusammen. Die Normalform sieht also allgemein so aus y=ax²+bx+c, die Scheitelform aht die Gestalt y=a(x-d)²+e. Und das a ist das gleiche a wie bei der Normalform. Um von der Scheitelform auf die Normalform zu kommen, muss man im Prinzip nur die Klammer ausmultiplizieren. Um von der Normalform auf die Scheitelform zu kommen, kann man eine Formel benutzen: b=-2ad oder nach d umgestellt d=c/(-2a) und danach kann man, um e zu bestimmern, entweder eine zweite Formel benutzen, nämlic e= c-ad² oder man setzt das d einfach als x-Wert ind die Funktion y ein, und das, was herauskommt, ist dann e, oder man macht eine quadratische Ergänzung, auf die ich hier jetzt nicht näher eingegangen bin. Das war's, wir hören uns im nächsten Video.  

Informationen zum Video
10 Kommentare
  1. Default

    Danke! Hat mir echt sehr geholfen :)

    Von Checker24, vor etwa einem Monat
  2. Default

    Sehr gut gemacht, aber in der Schule benutzen wir andere "Platzhalter" für a, d usw. da ist es echt schwierig umzudenken und so richtig verstehen tu ich es deshalb auch nicht. Aber das liegt wohl eher an mir mal schauen vllt. verstehe ich es ja doch bald.

    Von Jessica Dettenhofer, vor 8 Monaten
  3. Default

    Ich habs endlich verstanden!!!! Dankeschön.

    Von Rikka, vor etwa 3 Jahren
  4. Default

    Das ist so schnell, ich komm gar nicht richtig mit!

    Von Silvia Wagner, vor fast 4 Jahren
  5. Default

    ab 9m 20s wird es etwas schnell, dh. die Erläuterungen werden etwas knapp.
    Alles davor kann man kaum besser machen.

    Von Anselm Meyer, vor fast 4 Jahren
  1. Default

    Sehr gutes Video !

    Von Munich Max, vor mehr als 5 Jahren
  2. Default

    sau cool Merci!

    Von Rufflepaz, vor etwa 6 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Fresh Slam,

    in der quadratischen Gleichung mit den Parametern habe ich y = a*(x - d)² + e geschrieben. Das heißt, wenn das Minus schon in der Klammer ist, muss ich nur den Parameter selbst nehmen, also d. Der Scheitelpunkt ist dann (d;e).
    Man kann die Gleichung aber auch schreiben als y = a*(x + d)² + e. Dann hast du recht. Dann ist der Scheitelpunkt (-d;e).
    Nimm zum Beispiel y = (x - 3)² + 1. Nimmst du die erste Formel, dann ist d = 3, der Scheitelpunkt ist (3;1), also (d;e).
    Nimmst du die zweite Formel, dann ist d = -3, -d = -(-3) = 3, der Scheitelpunkt ist immer noch (3;1), also (-d;e).

    Es ist nur eine Interpretationsfrage. Ich habe extra die Form y = a*(x - d)² + e gewählt, damit der Scheitelpunkt (d;e) ist.

    Von Steve Taube, vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    Habe einen Fehler bemerkt! Und zwar in der Scheitelform. Dort sagst du, dass man an den Parametern d;e den Scheitelpunkt ablesen kann. Allerdings muss man dazu den nagativen Wert von dem Parameter d verwenden. Also Scheitelpunkt (-d;e) !!!

    Von Fresh Slam, vor mehr als 6 Jahren
  5. Cimg8835

    Ich bin begeistert! Sehr gut erklärt!

    Von Melanie Unbekannt, vor etwa 7 Jahren
Mehr Kommentare