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Transkript Newton-Verfahren – Zusammenfassung

Hi, in diesem Video geht es um das Newtonverfahren. Wir brauchen es zur Lösung nicht-linearer Gleichungssysteme. Wobei wir uns nur mit dem eindimensionalen Fall hier befassen. Jede beliebige Gleichung lässt sich auf die Form f(x)=0 bringen, also in ein Nullstellenproblem umwandeln. Und genau diese Nullstellen können wir mit dem Newtonverfahren berechnen. Wir haben also eine Funktion f(x). Das Newtonverfahren geht nun wie folgt: Wir nehmen einen Startwert x0 und zeichnen an den Funktionsgraphen, an der Stelle x0, die Tangente. Wir bestimmen nun von dieser Tangente die Nullstelle und nennen diese Stelle x1. Wie wir sehen, liegt die Stelle x1 dichter an der Nullstelle von f als x0. Jetzt wiederholen wir das Spiel und zeichnen auch an der Stelle x1 die Tangente an f(x). Die Nullstelle dieser Tangente liegt wieder dichter an unserer richtigen Nullstelle der Funktion f. Wir nennen sie x2. Wenn wir dieses Verfahren jetzt immer weiter und weiter wiederholen, kommen wir beliebig dicht an unsere Nullstelle heran. Das ist das Newtonverfahren. Um jetzt rechnen zu können, müssen wir uns zunächst einmal überlegen, wie eine Tangentengleichung aussieht, an der Stelle x0. Die Tangentengleichung an den Graphen f(x) an der Stelle x0, lautet t(x)=f(x0)+f'(xo)(x-x0). Wir wollen ja nun die Nullstelle dieser Tangente berechnen, setzen diese Gleichung also gleich null. Nach x aufgelöst erhalten wir x=x0-f(x0)/f'(x0). Wie wir sehen, muss f'(x0) dafür ?0 sein, sonst würden wir ja durch 0 teilen. Die Nullstelle dieser Tangente, die wir hier im Bild sehen, nennen wir jetzt x1. Und das machen wir jetzt ganz allgemein für x(k). Dafür müssen wir in der Gleichung von eben einfach x0/x(k) und x1/x(k)+1 ersetzen. Da wir also durch f'(x(k)) teilen, muss gewährleistet sein, dass während des ganzen Verfahrens f'(x(k))?0 ist. Nun wollen wir uns ein Beispiel dazu angucken. Gegeben haben wir die Funktion f(x)=e^-x-x und den Startwert x0=1. Nun sollen wir die Nullstelle dieser Funktion f(x) mithilfe des Newtonverfahrens berechnen. Zunächst bilden wir die Ableitung f'(x), die wir ja, wie wir eben in der Formel gesehen haben, benötigen. f'(x)=-e^-x-1. Wir kommen nun zum ersten Iterationsschritt. x1 können wir berechnen, indem wir in die Formel für k 0 einsetzen. Wir erhalten x1=x0-f(x0)/f'(x0). Für f und f' setzen wir zunächst die Funktionsgleichung bzw. die Ableitung ein. Jetzt setzen wir noch für x0 unseren Startwert 1 ein und schon können wir x1 berechnen. Wir erhalten x1=0,537883. Die Genauigkeit, mit der gerechnet werden soll, also die Anzahl der Nachkommastellen ist in der Aufgabe meistens gegeben. Jetzt kommen wir zum 2. Iterationsschritt und müssen in unserer Gleichung für k 1 einsetzen, um eine Gleichung für x2 zu erhalten. Wir erinnern uns, unsere Funktionsgleichung war e^-x-x, die Ableitung -e^-x-1 und x1, das wir eben berechnet haben 0,537883. Wir setzen also für f und f' wieder die entsprechenden Terme in die Gleichung ein, setzen dann noch den Wert für x1 ein und erhalten x2=0,566987. Um jetzt x3 auszurechnen, müssen wir in unserer Formel nun wieder einen Schritt weiter gehen, also für x2, x3 schreiben und für x1, x2. Jetzt noch den Wert für x2, den wir eben gefunden haben einsetzen und das Ergebnis 0,567143 bestaunen. Für den nächsten Schritt wird wieder aus x3, x4 und aus x2, x3. Das gleiche Spiel wie immer, den Wert einsetzen und der Taschenrechner verrät uns x4=0,567143. Wenn wir diesen Wert, mit dem Wert des letzten Iterationischrittes x3 vergleichen, sehen wir, dass die Werte gleich sind. Zumindest mit der berechneten Genauigkeit von 6 Nachkommastellen. Wir haben unsere Nullstelle also jetzt genau genug berechnet, können die Iteration abbrechen und sind fertig. Das war es zum eindimensionalen Newtonverfahren. Bis dann, ciao.

Informationen zum Video
9 Kommentare
  1. Printimage

    Hallo Lea,
    nein es sind keine Synonyme.
    http://de.m.wikipedia.org/wiki/Numerische_Differentiation
    http://de.m.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren
    LG

    Von Steph Richter, vor fast 2 Jahren
  2. Printimage

    Hallo Lisa,

    E-Funktionen werden mit der Kettenregel abgeleitet
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/die-kettenregel-1

    f(x)= e^-x
    Innere: -x
    Äußere: e^-x
    Innere Ableitung: -1
    Äußere Ableitung (bleibt bei unverändert bei der e-Funktion): e^-x

    f'(x)= Innere Ableitung * Äußere Ableitung
    f(x) = (-1) * (e^-x) = -e^-x

    LG

    Von Steph Richter, vor fast 2 Jahren
  3. Foto am 10.12.12 um 18.49 1

    kommt bei der Ableitung nicht : -e hoch -2x raus?

    Von Lisa Helmberger, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    ist eine nummerische Differentiation das selbe wie newtonverfahren? also ist das ein synonym?

    Von Lea Seyda, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    ahso wenn das so is

    Von Muhrd, vor etwa 3 Jahren
  1. Printimage

    Hallo,

    das Video war ein experiment wie so ein Stil bei den Zuschauern ankommt. Leider nicht so gut und daher werden solche Videos nicht mehr produziert. (Als wir die Idee hatten fanden wir sie noch super =))

    Von Steph Richter, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    mann ich hab keine ahnung was du da machst, gottseidank gibt es youtube

    Von Muhrd, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    waas? das getue und die schauspielerei lenken mich voll vom inhaltlichen ab!

    Von Muhrd, vor etwa 3 Jahren
  4. Default

    ich mag deine art wie du das video gestaltet hast, da kann man auch eine längere zeit am stück konzentriert aufpassen :)

    Von Aaronorkan, vor mehr als 3 Jahren
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