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Transkript Negative Zahlen auf der Zahlengerade

Hallo, das Wetter macht manchmal schon verrückte Dinge. Im letzten Winter war es an einem Tag 7 Grad Celsius warm. Über die Nacht fiel die Temperatur dann aber wieder um 12 Grad Celsius. Welche Temperatur konnte ich an diesem Morgen am Thermometer ablesen?

In diesem Video wirst du mit Hilfe von Beispielen aus dem Alltag die negativen Zahlen kennenlernen. Außerdem wird dir erklärt, wie sich die Zahlenbereiche der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen zusammensetzen.

Die negativen Zahlen

Kommen wir zurück zu unserem Temperaturproblem. Die Temperatur fiel von 7 Grad um 12 Grad. Diese Aufgabe ist eigentlich einfach zu lösen. Man muss nur aufs Thermometer schauen. Mathematisch gesehen muss man 7 Grad Celsius minus 12Grad Celsius rechnen.

Hmmmmm, der Minuend 7 ist aber kleiner als der Subtrahend 12. Solche Aufgaben haben wir bisher noch nicht lösen können. Aber wir können durch Überlegen auf die Lösung kommen. Wir zählen einfach von der Zahl 7 zwölf Schritte rückwärts, ähnlich wie beim Raketen-Count-Down:

Sieben, Sechs, Fünf, Vier, Drei, Zwei, Eins, Null und wie gehts jetzt weiter? Wie viele Schritte haben wir denn noch? Sieben Schritte sind wir schon gegangen, zwölf Schritte müssen wir insgesamt gehen, also müssen wir noch fünf Schritte gehen. Welche Zahl folgt denn auf Null?

Das Thermometer verrät es uns: die minus eins, dann minus zwei, minus drei, minus vier und zum Schluss minus fünf. Am Morgen hatten wir also eine Temperatur von minus fünf Grad Celsius.

Wenn vor einer Zahl als Vorzeichen ein Minus steht, dann ist dies eine negative Zahl. Wenn vor einer Zahl ein Pluszeichen steht, dann ist dies eine positive Zahl. Eigentlich müsste es, wenn es sieben Grad Celsius warm ist, plus sieben Grad Celsius heißen.

Allerdings wird das Vorzeichen + bei positiven Zahlen meistens nicht genannt. Anders ist es bei negativen Zahlen. Bei ihnen wird immer das Minus als Vorzeichen genannt. Andernfalls wären positive und negative Zahlen auch nicht mehr unterscheidbar.

Negative Zahlen findet man nicht nur bei Temperaturangaben. Man findet sie auch an anderen Stellen im Alltag wieder.

Wenn du einen Atlas aufschlägst, dann kannst du auf einer physischen Karte Höhenangaben erkennen. Bei Gebirgen ist das Vorzeichen positiv, die Höhe des Mount Everest ist plus 8848 Meter. Bei Tiefseegräben ist das Vorzeichen negativ, beim Marianengraben steht minus 11034 Meter.

Wenn jemand Schulden bei der Bank hat, dann steht auf dem Kontoauszug ein Minuszeichen vor der Zahl. Beim Guthaben steht manchmal ein Pluszeichen vor der Zahl. Oft wird es weggelassen

Die natürlichen Zahlen

Nun wollen wir uns den Zahlenbereichen zuwenden: In der Grundschule hast du schon die natürlichen Zahlen kennengelernt und diese am Zahlenstrahl dargestellt. Null, Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, und so weiter.

Der Zahlenstrahl fängt bei der Null an und geht bis ins Unendliche nach rechts. Der Zahlenstrahl ist geometrisch betrachtet eine Halbgerade ist, die einen Anfang, hier die Null aber kein Ende hat.

Jeder Zahlenstrahl besitzt eine Skala. Die Schrittweite der Markierungen, man kann auch sagen die Einheit, ist immer gleich.

Nun betrachten wir zwei verschiedene Darstellungen von Zahlenstrahlen: Auf dem ersten Blick sind beide Zahlenstrahlen gleich, da sie gleich lang gezeichnet sind.

Die erste Zahlengerade zeigt die Zahlen eins, zwei, drei und so weiter. Da jede einzelne Zahl markiert ist, beträgt die Einheit eins. Beim zweiten Zahlenstrahl wird nur jede zweite Zahl gezeigt: zwei, vier, sechs und so weiter. Der zweite Zahlenstrahl hat deshalb die Einheit zwei.

Die ganzen Zahlen

Nun erweitern wir den Zahlenstrahl ins Negative und kommen zum Zahlenbereich der ganzen Zahlen. Den natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3 und so weiter fügen wir die nun die negativen ganzen Zahlen -1, -2 -3 und so weiter hinzu. Sie bilden gemeinsam den Zahlenbereich der ganzen Zahlen Z.

Erweitern wir unseren Zahlenstrahl um die negativen Zahlen, so erhalten wir eine Zahlengerade. Die Zahlengerade hat keinen Anfangs- oder Endpunkt und ist somit nicht durch die null begrenzt. Deshalb kann man auch immer nur einen Ausschnitt zeichnen. Auch bei der Zahlengerade muss man wieder auf die Einheit beziehungsweise die Schrittweite achten. In dem aufgezeigten Beispiel beträgt die Einheit eins.

Nun möchte ich dich auf eine Besonderheit hinweisen. Die Null stellt die Mitte der Zahlengerade dar. Zwei Zahlen, die auf der Zahlengeraden symmetrisch zur Null liegen, nennt man ein Paar von Gegenzahlen. Die Gegenzahl zu 2 ist also -2, die Gegenzahl zu -3 ist 3.

Der Abstand von einer Zahl zur Null und der Abstand der zugehörigen Gegenzahl zur Null sind gleich. Diesem Abstand geben wir einen besonderen Namen. Wir nennen ihn Betrag einer Zahl.

Der Betrag einer Zahl ist also ihr Abstand zur Null. Wir schreiben für den Betrag die Zahl in Betragstrichen. Der Betrag der Zahl und der Betrag der Gegenzahl sind gleich. Zum Beispiel ist der Betrag aus 3 gleich dem Betrag aus -3 gleich 3.

Die rationalen Zahlen

Was versteht man nun unter den rationalen Zahlen? Neben den ganzen Zahlen hast du Brüche kennen gelernt. Auch diese haben natürlich Gegenzahlen. Die Gegenzahl zu plus drei Halbe ist minus drei Halbe. Die Gegenzahl zu minus drei Viertel ist plus drei Viertel.

Fügt man den ganzen Zahlen sämtliche positiven und negativen Brüchen hinzu, so erhält man den Zahlenbereich der rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen werden mit einem Q abgekürzt. Diese Zahlenmenge kann man nicht auflisten, da zwischen zwei rationalen Zahlen immer unendlich viele andere rationale Zahlen liegen. Zwischen der 0 und 1 liegt ½, ¼, ⅛, 1/16... 1/3000... Ich könnte immer so weiter machen.

Wir können also nur Beispiele für den Zahlenbereich der rationalen Zahlen geben: -3, minus drei Halbe, 0, ½ oder 1

Zusammenfassung

Wir fassen zusammen:

  1. Du hast an verschiedenen Beispielen kennen gelernt, wann negative Zahlen im Alltag vorkommen.
  2. Wir haben den Zahlenstrahl zur Zahlengerade erweitert. Die Zahlengerade hat keinen Anfangs- oder Endpunkt und ist somit nicht durch die null begrenzt.
  3. Der Betrag einer Zahl und der Betrag der zugehörigen Gegenzahl sind gleich.
  4. Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen mit der Null.
  5. Ganze Zahlen sind alle negativen und positiven ganzen Zahlen mit der Null.
  6. Rationale Zahlen sind schließlich alle positiven und negativen ganzen Zahlen mit der Null sowie alle positiven und negativen Brüche.

Nun sind wir wirklich am Ende des Videos. Schön, dass du dir es angeschaut hast. Bis zum nächsten Mal!

Informationen zum Video
12 Kommentare
  1. Default

    cool :)

    Von Silke Gotschy, vor 6 Monaten
  2. Default

    sehr cool

    Von Silke 16, vor 11 Monaten
  3. Image

    danke hat mir geholfen

    Von Ki Ni Az, vor mehr als einem Jahr
  4. Felix

    @Viennalife:
    N, Z bzw. Q mit einem Doppelstrich steht für die Menge der natürlichen, ganzen bzw. rationalen Zahlen. Dort sind alle natürlichen, ganzen bzw. rationalen Zahlen zusammengefasst.
    Ein Beispiel: 0,5 gehört zu Q, aber nicht zu N oder Z.
    Denn diese Zahl ist eine rationale Zahl, aber keine natürliche oder ganze Zahl.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    prima video nur ich versteh das Q Z N leider nicht lool

    Von Viennalife, vor mehr als einem Jahr
  1. Default

    Du hast mir sehr geholfen!
    Bitte, bitte, bitte mach mehr Videos in Mathe!

    Von Nadja Klee, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Gut Erklärt. :D

    Von Henne67, vor fast 2 Jahren
  3. Giuliano test

    @Borianderl:
    Die Menge der natürlichen Zahlen IN wird in der Literatur manchmal mit und manchmal ohne 0 geschrieben. Beide Versionen werden uneinheitlich verwendet. In diesem Video ist die 0 in den natürlichen Zahlen enthalten. Es gibt eine zusätzliche Schreibweise mit einer 0 im Index, also IN_0, bei der man die 0 explizit ausschließt.
    Bei der Menge der ganzen Zahlen ist die 0 definitiv enthalten.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    IN ist nicht von 0-... sondern 1-... !!!!

    Von Borianderl, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    schreibe morgen einen test dazu ich hoffe es wird gut super erklärt ist mir alles jetzt ei bisschen klarer geworden im großen und ganzen hatte ich es verstandber jetzt ist es besser danke

    Von Ronja20127961, vor etwa 2 Jahren
  6. Default

    ich habe danck dieses videos eine 2 gekricht.

    Von Marina Lippe, vor mehr als 2 Jahren
  7. Img 3745

    Danke! Super Video, Super Erklärt und hat super zu unserem Thema gepasst

    Von Olivia A., vor mehr als 2 Jahren
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