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Transkript Natürlicher Logarithmus als Integralfunktion

Hallo, in diesem Video geht es um die natürliche Logarithmusfunktion und genauer um die Darstellung des natürlichen Logarithmus als eine Integralfunktion. Wir betrachten die Funktion L(x), die als ein Integral der Kehrwertfunktion zwischen den Integrationswerten 1 und x, für alle positiven x definiert ist. Grafisch kann man diese Funktion wie folgt darstellen. Wir wissen, das Integral einer Funktion, der Fläche unter dem Graphen der Funktion entspricht. Das heißt, die Funktion L ordnet jedem Argument x diese Fläche zu. Wir zeigen nun, dass unsere Funktion L gleich der natürlichen Logarithmusfunktion ist. Aus der Definition folgt sofort, dass L(1)=0 ist und außerdem, da der Integrand streng positiv ist, ist die Funktion L streng monoton wachsend. Diese beiden Eigenschaften hat jede logarithmische Funktion. Diese sind jedoch nicht hinreichend. Um zu zeigen, dass wir es hier tatsächlich mit einer logarithmischen Funktion zu tun haben, müssen wir folgende Funktionalgleichung beweisen: L(x×y)=L(x)+L(y). Das ist genau die Eigenschaft, die eine Funktion zu einer logarithmischen Funktion macht. Wenn wir sie für den Logarithmus aufschreiben, sieht sie für die meisten von uns viel vertrauter aus. Wir betrachten die Funktion L an der Stelle x×y. Nach Definition ist das das Integral der Kehrwertfunktion zwischen 1 und x×y. Dies kann man schreiben als Integral von 1∫x + x∫xy. Im 1. Integral erkennen wir sofort L(x). Wenn wir jetzt zeigen können, dass das 2. Integral = L(y) ist, so haben wir das Gewünschte erreicht. Wir betrachten das 2. Integral genauer. Hier ist es noch einmal und führen folgende Variablensubstitution durch: t setzen wir = xs, d.h. statt dt steht dann x×ds. Das heißt, wir integrieren 1/xs×x und die beiden x'e kürzen sich. Als Nächstes betrachten wir die Ableitung der Funktion L, hier ist sie noch einmal. Das heißt, das 2. Integral ist tatsächlich L(y). Wir haben gezeigt, dass für unsere Funktion L gilt: L(xy)=L(x)+L(y), damit ist sie eine logarithmische Funktion. Als Nächstes betrachten wir die Ableitung der Funktion L, hier ist sie noch einmal. Die Ableitung ist durch die Kehrwertfunktion gegeben. Dies entspricht der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion. Das heißt, unsere Funktion L ist nicht nur irgendeine logarithmische Funktion, sondern sie ist die natürliche Logarithmusfunktion. Soviel zur Integraldarstellung der Logarithmusfunktion. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

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3 Kommentare
  1. Default

    Danke :) für die schnelle Antwort .. Da haben sie recht . Da lag mein Denkfehler .
    Trotzdem super Video :)

    Von Linda W., vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Viel zu schnell und zu wenig Bezug der Herkunft von Logarithmus und Co.

    Von Suessmann, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Erklärung ist viel zu schnell, man kann die Rechenschritte nur schwer nachvollziehen.

    Von Joshua Tibow 1, vor mehr als 3 Jahren