Textversion des Videos

Transkript Multiplikationssatz

Hallo, wir machen den Multiplikationssatz oder man kann auch sagen, Multiplikationstheorem. Hier in zweifacher Ausführung, und zwar in einfachstmöglicher Form. P von A geschnitten B ist = P von A × P von B unter der Bedingung A, ebenso ist P von A geschnitten B = P von B × P von A unter der Bedingung B. Das heißt also, wir haben hier eine Schnittmenge, wir suchen die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von A geschnitten B, das ist = der Wahrscheinlichkeit von A × der Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A. Hier natürlich auch in der anderen Version. Wie kann man sich jetzt vorstellen, warum das gilt? Wir haben schon definiert, was eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist. Das war also P von A unter der Bedingung B, wir haben Beispielswiese auch B unter der Bedingung A. Das ist P von A geschnitten B ÷ P von der Wahrscheinlichkeit von B. Davon die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B betrachtet, dann ist B quasi die neue Grundmenge und mit dieser Grundmenge vergleicht man dann das Eintreten von A geschnitten B. Wenn man das jetzt hier formal einfach multipliziert mit P von B, mal vorausgesetzt P von B sei nicht null, sonst wenn es null wäre, würde es sowieso nicht funktionieren. Wir können einfach mit P von B multiplizieren und erhalten dann diese Version des Multiplikationssatzes. Wenn ich hier A und B vertausche, das kann ich auch machen, dann eben diese Version hier, das ist die ganze Herleitung. Mehr ist formal dazu nicht zu sagen. Eine kleine Anmerkung noch, man kann das auch auf mehrere Mengen erweitern. Man kann schreiben, A1 geschnitten A2 geschnitten A3 und auf diese Schnittmengen kann man jetzt den Multiplikationssatz anwenden und ich möchte die vordere Menge mal als eine Einheit betrachten. Dann ergibt sich Folgendes: wenn man sagt, das ist quasi A geschnitten B, wie in der Vorversion dann kann ich jetzt diesen Multiplikationssatz einfach auf diese Situation hier anwenden. Dann erhalten wir P von A1 geschnitten A2 × P von A3 unter der Bedingung A1 geschnitten A2. Wenn ich jetzt auf diese Schnittmenge hier, auf die Wahrscheinlichkeit dieser Schnittmenge noch mal den Multiplikationssatz anwende, dann erscheint die Sache so:  P von der Wahrscheinlichkeit von A1 = A2  = der Wahrscheinlichkeit von A1 × der Wahrscheinlichkeit von A2 unter der Bedingung A1 und den Rest, der hier hinten steht, den kann ich jetzt noch mal abschreiben und dann ist die Sache hier erledigt. Dann haben wir den Multiplikationssatz für 3 Mengen und ich glaube wir sind uns einig, dass man das auch auf noch weitere Mengen übertragen kann, dann wird der Term zwar immer länger, aber hier kann man so viele Mengen hinschreiben, wie man möchte. Das war zum Multiplikationssatz, viel Spaß damit. Tschüss.

Informationen zum Video