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Transkript Multiplikation von Matrizen

Die Matrizenmultiplikation Man nehme 2 Matrizen: A sei eine mxn Matrix und B eine nxk Matrix. Wobei hier n die Anzahl der Zeilen darstellt, also Zeilenanzahl, und k die Anzahl der Spalten. Damit die Multiplikation überhaupt definiert ist, muss die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B sein. Das heißt, A×B hätten wir hier, mxn und nxk. Die beiden stimmen überein, das heißt, die Multiplikation ist definiert und eine mxk Matrix kommt raus, die nennen wir jetzt einfach mal C. Also mxk. Im Allgemeinen sieht das so aus, wenn wir 2 Matrizen A und B haben: Hier 3x3 jeweils. Und das heißt, die 3, die Anzahl also der Spalten stimmt hier mit der Anzahl der Zeilen überein. Das heißt, die Multiplikation ist definiert und raus kommt eine 3x3 Matrix. Das habe ich hier auch noch mal hingeschrieben, das ist dann die C Matrix nach der Multiplikation. Das Element c11 ergibt sich dann wie folgt: Hier unten a11×11+a12×b21+a13×b31=das Element c11. Äquivalent dann natürlich auch für c12 z. B. nehmen wir a11×b12+a12×b22+a13×b32=das Element c12. Ich zeige euch das jetzt mal an einem praktischen Beispiel. Das Beispiel, das wir hier herausgesucht haben, sind wieder Matrizen mit 3x3, wie wir es eben gerade schon hatten. Und zwar haben wir hier die Matrix A und die Matrix B hier. Das heißt, das 1. Element c11 ergibt sich dann wie folgt: 3×0 (die beiden) + 2×2 (also das Element mit dem Element multipliziert) und 1×1. Das wäre dann c11. Das 2. Element c21 ergibt sich dann: 0×2+2×1+1×0, ist dann c21. c31 ergibt sich dann: 0×1 (die beiden) +2×3+1×1. Dann würde sich wieder wie vorhin, die sind natürlich alle äquivalent zueinander die Schritte, für c33 ergeben: 1×1+1×3+1×0. Also das Element c11, die 5 überträgt sich dann hierhin, c21, die 2 kommt hierhin und die 7 seht ihr hier. Den Rest könnt ihr ja dann selber mal ausrechnen. Man kann es aber auch einfacher machen, indem man es bildhaft sich darstellt, und zwar in einem Kreuz, das das wie folgt aussieht: das hier die Matrix A steht und hier oben die Matrix B. Also Matrix A war bei uns 3 2 1, 2 1 0, 1 3 1 und die Matrix B 0 4 1, 2 1 1 und 1 3 0. Jetzt können wir das wie folgt machen, indem wir einfach mit den Fingern runtergehen. Also 3×0+2×2+1×1=5, haben wir vorhin herausbekommen. 0×2+2×1+0×1=2. 0×1+2×3+1×1=7. 3×4+2×1+1×3=17. 4×2+1×1+0×3=9. 4×1+1×3+1×3=10. 1×3+2×1+0×1=5 und 2×1+1×1+0×0=3 und 1×1+3×1+0×1=4. So könnt ihr euch das also auch einfacher machen. Normalerweise übernimmt das Addieren und das Multiplizieren natürlich der Taschenrechner. Das war die Matrizenmultiplikation.

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