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Transkript Mitternachtsformel (abc-Formel) – Übung

Hallo, wenn eine quadratische Gleichung in dieser Form vorliegt, dann liegt sie in allgemeiner Form vor. Diese Form lautet: ax²+bx+c=0. Wenn du also eine quadratische Gleichung in dieser allgemeinen Form vorfindest, dann kannst du diese Lösungsformel verwenden. Unter der Voraussetzung, dass hier keine 0 steht, denn wir müssen hier durch 2a teilen. Und wenn a=0 wäre, dann könnten wir hier nicht teilen. Das ist aber keine wesentliche Einschränkung, denn wenn a=0 wäre, wäre ja auch ax²=0. Das heißt, wir hätten dann gar keine quadratische Gleichung und bräuchten auch diese Lösungsformel nicht. Weiter ist noch zu sagen, diese Lösungsformel bietet ja 2 Lösungen, nämlich x1 und x2. Die ergeben sich aber nur dann, falls das was hier unter der Wurzel steht, größer als 0 ist. Das, was unter der Wurzel steht, heißt Diskriminante. Wenn also die Diskriminante größer als 0 ist, dann liefert diese Lösungsformel hier 2 Lösungen. Falls das nicht der Fall ist, sage ich gleich noch was dazu. Zunächst möchte ich mal zeigen, wie diese Formel hier auf eine konkrete Gleichung anzuwenden ist. Hier hab ich mal eine vorbereitet. Das ist eine konkrete quadratische Gleichung. Sie lautet: -5x²+(-7)x+(-2)=0. Wir müssen nun zunächst vergleichen, wenn wir diese Lösungsformel anwenden wollen, ob diese Gleichung auch tatsächlich in Normalform geschrieben ist. Dazu vergleichen wir a, b und c. Hier steht statt des a -5, das ist ok. Statt b steht hier -7 und statt c steht hier -2. Das heißt, diese Form hier hat tatsächlich die allgemeine Form. Diese Gleichung steht hier in allgemeiner Form. Und wir können hier die Lösungsformel benutzen. Dazu ist noch eine Kleinigkeit zu sagen: Normalerweise schreibt man solche Gleichungen ja nicht mit +-7, sondern man schreibt stattdessen einfach -7, × x kann man auch hinschreiben, aber auch den Malpunkt lässt man in der Regel weg. Und statt +-2 schreibt man ja auch einfach -2 = 0. Auch diese Form hier ist die allgemeine Form, obwohl hier nun nicht so ein + Zeichen steht, sondern ein - Zeichen. Und hier steht auch ein - Zeichen und kein + Zeichen. Trotzdem, wie wir gesehen haben, kann da ein + Zeichen stehen. Und deshalb ist das hier auch die allgemeine Form. Also diese Vorzeichen sollten dich da nicht weiter irritieren. Und jetzt kann ich also die Lösungsformel verwenden. Also x1,2, oder x1 Komma 2 oder man sagt auch x1 und x2.... x1,2 = -b steht in der Lösungsformel. Bei uns ist b=-7, also ist -b=+7. Deshalb kann ich auch gleich +7 hinschreiben. Gefolgt von ±\sqrt(-7²)=49. Danach kommt -4×a×c. Ich fange mal mit dem a×c an. a ist bei uns hier -5. c=-2. -5×-2=+10. -4×10=-40. Und deshalb kommt hier die -40 hin. Geteilt durch 2×a. a ist hier -5. 2×-5=-10. Und dann steht hier schön kompakt die Lösung fast schon bereit. Jetzt müssen wir nur noch ausrechnen. Und das geht ganz gut im Kopf. Denn 49-40=9. \sqrt9=3. Dann können wir noch rechnen 7+3÷-10. 7+3=10. 10÷-10=-1. Also zu der Lösung x1 komme ich, in dem ich hier das + Zeichen verwende. Zu Lösung x2 kommt man, wenn man hier das - Zeichen verwendet. 7-3=4. 4÷-10=-0,4. So, damit ist diese Gleichung gelöst. Ich könnte natürlich noch die Probe machen, aber das spare ich mir hier jetzt mal. Die Probe, indem ich hier oben für x -1 einsetze und auch -0,4 einsetze. Nun habe ich schon angekündigt, ich wollte etwas dazu sagen, was passiert, wenn hier diese Diskriminante nicht größer 0 ist. Zum Beispiel könnte sie kleiner 0 sein. Das ist bei dieser Gleichung der Fall. Ich setze das einfach mal ein. Die Wurzel würde dann folgendermaßen lauten: \sqrt49 - 4×a×c. a ist bei uns -5, c ist -20. -5×-20=100. -4×100=-400. Und da sehen wir also, 49-400 ist kleiner als 0, auf jeden Fall. Und innerhalb der reellen Zahlen können wir keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Und deshalb ist hier in unserem Zusammenhang diese Wurzel nicht definiert. Und diese Gleichung hat auch keine Lösung. Was kann noch passieren? Die Gleichung könnte so aussehen. Dann erhalten wir unter der Wurzel folgendes. b², b ist bei uns hier -10. -10²=100. Wir müssen noch rechnen: -4×a×c. a ist 5, c ist 5. 5×5=25. -4×25=-100. Das bedeutet, wir haben hier die Wurzel aus 0 stehen. \sqrt0=0. Und wir können nun auch die Lösungsformel verwenden. Allerdings erhalten wir keine 2 Lösungen, sondern nur eine. Denn die beiden unterschiedlichen Lösungen ergeben sich ja daraus, dass man hier einmal + diese Wurzel rechnet und einmal - diese Wurzel rechnet. Wenn diese ganze Wurzel hier gleich 0 ist, dann können wir + oder -0 rechnen, dann ändert sich das Ergebnis nicht. Deshalb ist das Ergebnis dann einfach hier -b÷2a. Es gibt nur eine Lösung und wir können das auch kurz nachrechnen. -b, b ist bei uns -10, -b ist dann entsprechend +10. 10÷2a, a ist bei uns hier 5. 2a=10. 10÷10=1. Und ich glaube, du siehst es schon, wenn du in diese Gleichung hier 1 einsetzt, dann steht hier 5×1-10×1+5=0. Und das ist auch richtig. Das wars zu dieser allgemeinen Lösungsformel, auch Mitternachtsformel genannt. Wenn also die Gleichung in allgemeiner Form liegt, kannst du die Lösungsformel verwenden, indem du einfach für a, b und c die entsprechenden Zahlen einsetzt und ausrechnest. Viel Spaß damit, tschüss

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16 Kommentare
  1. Default

    ups

    Von Mkriedel, vor 11 Tagen
  2. Default

    hahaha so ein Lauch wo is des hoch 2

    Von Mkriedel, vor 11 Tagen
  3. Felix

    @Sandra Baerenz: Bitte nenne die genaue Zeit im Video bzw. die Aufgabennummer der Übung an. Dann korrigiere ich das gerne.

    Von Martin Buettner, vor 8 Monaten
  4. Default

    -5 * -5 ist 10

    Von Sandra Baerenz, vor 8 Monaten
  5. Sarah2

    @Familiewittich: Bringe zunächst alle Terme durch Äquivalenzumformungen auf eine Seite. Deine Gleichung lautet dann: x^2-x+1=0. Dann kannst du die Mitternachtsformel ebenfalls anwenden. Achte dabei unbedingt auf die Vorzeichen! Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Ansonsten wende dich noch einmal an den Mathe-Fachchat, der täglich zwischen 17 und 19 Uhr online ist.

    Von Sarah Kriz, vor fast 2 Jahren
  1. Default

    aber was ist, wenn man x-1=x^2 hat?

    Von Familiewittich, vor fast 2 Jahren
  2. Sonja handy 041

    Danke, jetzt verstehe ich's endlich.
    Auch von mir ein großes Lob.

    Von Eli Handler, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Das Video ist gut gelungen, was ich leider nicht vom Unterricht meiner Mathematiklehrerin behaupten kann:)

    Von Fmail1, vor mehr als 2 Jahren
  4. 1370520972957

    Danke, hat mir super geholfen, hab ich in der Schule nicht verstanden! ^^

    Von Sralm, vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    gutes Video, was passiert wenn aber z.B z2+11z=0 und c nicht gegeben ist?

    Von Guitarra, vor mehr als 3 Jahren
  6. Default

    ein wirklich tolles video hab jetzt endlich einen weg die nullstellen auszurechnen. aber wie mach ich es wenn das mit der diskrimienante nicht hinkommt?

    Von Darian P., vor mehr als 3 Jahren
  7. Default

    Danke
    ich war in der Stunde der Einführung krank und hab die ganze Formel in 10 Minuten gelernt. (Nur durch das Video)

    SUPER

    Von Ralfwilhelmwulf, vor fast 4 Jahren
  8. Default

    sehr gut erklärt. danke.

    Von Anselm Meyer, vor fast 4 Jahren
  9. 001

    Wenn das so ist, dann schläft ein Berliner Schüler mitternachts nie.

    Von André Otto, vor fast 6 Jahren
  10. Flyer wabnik

    Das ist ja ulkig! Danke!!

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 6 Jahren
  11. Uwe3

    Hallo Herr Wabnik,
    da hier so gut wie niemand ein Kommentar schreibt, möchte ich das hiermit mal tun.
    Ein dickes Lob für ihre Videos. Sehr anschaulich und gut zu verstehen.

    Mich hatte der Grund für den Namen der Formel interessiert.
    Bei Wikipedia habe ich Folgendes gefunden:
    Die Formel für die Lösungen der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung wird in der Umgangssprache als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil ein Schüler sie auswendig kennen sollte, selbst wenn man ihn mitten in der Nacht weckt. Sie gibt die Lösungen der Gleichung an.

    mit freundlichen Grüßen, Krish

    Von Krish Uwe S., vor mehr als 6 Jahren
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