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Transkript Mittelwert – Beweis der Minimalitätseigenschaft

Hallo! Wir haben eine Minimalitätseigenschaft des Mittelwertes. Ich sage kurz, was das ist, was damit gemeint ist und dann kommt der Beweis. Also: Die Summe der Quadrate der Differenzen von Messwert und Mittelwert ist minimal, und zwar in dem Sinne, wenn wir hier z. B. den Mittelwert haben, wir haben hier 4 Messwerte, wir bilden die Differenzen der Messwerte zum Mittelwert und quadrieren diese und addieren alle. Dann kommt da eine Zahl aus. Wenn wir einen anderen Wert nehmen, den hier z. B., der nicht der Mittelwert ist und bilden wieder die Differenzen der Messwerte zu diesem Mittelwert und quadrieren das Ganze und addieren alle Quadrate. Dann kommt hier in der unteren Situation eine größere Zahl heraus als hier, wenn wir die Differenzen zum Mittelwert bilden. So, wie kann man das beweisen? Der Beweis ist ein bisschen formal, man braucht im Prinzip aber nicht mehr als binomische Formeln und das Distributivgesetz - ja, da kommt es wieder. Also, ich habe hier folgende Situation: Die Eigenschaft, um die es geht, habe ich hier noch einmal hingeschrieben, nur steht jetzt hier nicht der Mittelwert, sondern irgendein Wert und wir wollen mal gucken, was passiert, wenn man da irgendeinen Wert a einsetzt. Also, dann kann man zunächst mal hierauf die 2. binomische Formel anwenden und statt (xi-a)2 (xi2-2xia+a2) schreiben und das Ganze dann auch wieder aufsummieren. Dann habe ich eine kleine Umformung gemacht, man kann ja hier auch zunächst einmal die Quadrate der Messwerte addieren, das steht hier. Dann kann man alle Terme, die -2xia enthalten, einzeln aufsummieren und dann die ganze Summe abziehen (die werden ja alle abgezogen, das ist kein Problem). Und wenn ich jetzt hier über i=1 bis n summiere, und zwar alle a2, dann kann ich auch einfach n×a2 schreiben, denn wir haben ja n Summanden, dann brauchen wir hier das Summenzeichen nicht mehr. Dann geht es weiter mit der Umformung, nämlich so: Ich habe n×a2 einfach nach vorne geschrieben (sonst war es ja hier), dann folgt dieser Term hier, und zwar habe ich jetzt das a und die 2 vor das Summenzeichen geschrieben, das ist kein Problem - das ist das Distributivgesetz in allgemeiner Form. Und dann die Summe der Quadrate der Messwerte kommt dann hinten dran. Danach geht es weiter mit folgender Situation: Ich habe hier n ausgeklammert aus n×a2 und hieraus, aus diesem Term, habe ich auch n ausgeklammert. Die Frage ist: Wie geht das? Da habe ich einen kleinen Zwischenschritt vorbereitet. Und zwar steht ja hier die Summe aller Messwerte. Die Summe aller Messwerte = n×die Summe aller Messwerte, wenn man sie durch n teilt. Also erst alle Messwerte durch n teilen und dann aufsummieren und das Ganze wieder mit n multiplizieren, dann kann man ja letzten Endes das n kürzen, dann ist es das Gleiche wie vorher. Allerdings wird das, was hier steht - wenn ich alle Messwerte durch n teile und dann aufsummiere, dann erhalte ich ja das arithmetische Mittel - also ist die Summe aller Messwerte = n×das arithmetische Mittel. Aus n×das arithmetische Mittel, was dann letzten Endes also hier steht, kann ich ja n ausklammern und dann bleibt das arithmetische Mittel noch da und -2×a steht ja davor, das muss ich dann auch noch hinschreiben. Das hier oben ist abgeschrieben worden. Jetzt kommt die quadratische Ergänzung. Okay, binomische Formel, Distributivgesetz und quadratische Ergänzung brauchen wir jetzt, das sind die 3 Dinge. Ich habe hier xQuer2 ergänzt. Damit aber hier wieder dasselbe steht wie dort, muss ich das auch abziehen. Ich habe nicht nur xQuer2 ergänzt, das habe ich zwar in die Klammer geschrieben, im Ganzen kommt aber n×xQuer2 dazu, wenn ich das in die Klammer schreibe, denn die wird ja als Ganzes noch mal mit n multipliziert. Damit der Wert also gleich bleibt, muss ich n×xQuer2 auch wieder abziehen, das habe ich hier gemacht und den Rest wieder abschrieben. Dann ist diese Zeile hier also genau so groß wie die, also hier kommt der gleiche Wert heraus wie da - egal, was man für a einsetzt. So, nachdem wir das jetzt wissen, ist eigentlich schon alles fertig - fast. Und zwar kann ich jetzt diese Klammer zusammenfassen, und zwar mit der 2. binomischen Formel. Also diese Klammer ist (a-xQuer)2, das Ganze ×n und den Rest habe ich abgeschrieben. So, was bringt das jetzt? Wir sind gestartet damit, dass wir hier diese Eigenschaft aufgeschrieben haben, allerdings nicht mit xQuer, sondern mit irgendeinem Wert a. Das ist jetzt umgeformt worden zu diesem Term hier. Dieser Term ist genau so groß wie das, was hier steht. Wir können uns jetzt fragen: Für welche Zahl ist dieser Term hier minimal? Was muss man für a einsetzen, damit das Ganze hier möglichst klein wird? Nun, wir haben hier ein Quadrat stehen (also die Klammer zum Quadrat). Ein Quadrat ist nicht negativ, das heißt, ein Quadrat ist entweder 0 oder positiv. Die kleinste Zahl, die ich hier erreichen kann, ist die 0. Und wie erreiche ich die 0? Indem ich nämlich für a xQuer einsetze, dann steht da nämlich xQuer-xQuer, das ist 0 (also Mittelwert-Mittelwert, das ist 0). das wird hier dann zu 0, das ändert sich nicht, das macht aber nichts. Das heißt, wir wissen jetzt, wenn ich für a xQuer einsetze, dann ist dieser Term minimal und damit ist auch dieser Term minimal, wenn ich für a xQuer einsetze und das ist ja genau hier gemacht worden. Und deshalb ist dieser Ausdruck dann minimal, wenn man hier xQuer einsetzt. So, das war der Beweis dazu. Viel Spaß, tschüss!

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