Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Mehrstufige Zufallsexperimente – Wahrscheinlichkeiten

Hallo, wir müssen reden, und zwar über mehrstufige Zufallsversuche und die Begriffe, die wir bei mehrstufigen Zufallsversuchen verwenden. Du hast mehrstufige Zufallsversuche und Baumdiagramme schon in der Mittelstufe gemacht. Was ich jetzt erklären möchte, ist für Jahrgangsstufe 10 und höher. Wenn du nur daran interessiert bist, irgendetwas in Formeln einzusetzen, brauchst du diesen Film übrigens nicht zu sehen, weil hier Begriffe geklärt werden und das Verständnis geklärt wird. Also, was ist das Problem bei mehrstufigen Zufallsversuchen? Fangen wir mal ganz vorne an, ganz einfach, wir haben einen Würfel, damit können wir würfeln. Und zum Beispiel eine 5 würfeln. Dann kann man mit diesem Würfel noch mal würfeln und wieder eine 5 erhalten, zum Beispiel. Und man kann noch mal würfeln und eine 2 erhalten, na immerhin. Wir Menschen sagen jetzt, dieser Situation, die ich gerade vorgemacht habe, muss man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen können. Also erst 5 würfeln, dann 5 würfeln, dann 2 würfeln. Dieses Ding muss eine Wahrscheinlichkeit haben. Unser Problem ist jetzt allerdings, wir hatten das bisher immer mit einem Zufallsversuch, mit einer Ergebnismenge, dass wir den Ergebnissen dann Wahrscheinlichkeiten zugeordnet haben. Jetzt haben wir hier aber 3 Zufallsversuche gesehen. Wie kann man der Situation, 5, 5, 2, die sich auf 3 Zufallsversuche bezieht, Wahrscheinlichkeiten zuordnen? Das ist die Frage. Es gibt grundsätzlich 2 Möglichkeiten, wie wir das machen können. Wir können tatsächlich von mehreren Zufallsversuchen ausgehen und dann Wahrscheinlichkeiten, auch mehreren Zufallsversuchen, zuordnen oder Kombinationen aus mehreren Zufallsversuchen zuordnen. Das wird meistens an der Universität gemacht, also ist eher Universitätsmathematik. Was in der Schule meistens gemacht wird, ist, dass man mehrere Zufallsversuche zu einem Zufallsversuch zusammenfasst. Dann kann man nämlich das, was man schon weiß, über diese Zufallsversuche, über die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten usw., weiter verwenden und dann ist die Wiese wieder grün. Die beiden Verfahren unterscheiden sich jetzt, wenn man es genau nimmt, nicht ganz so sehr. Haben aber andere Begriffe oder Bedeutungen. Deshalb muss man das immer gut unterscheiden. Also, wie können wir jetzt vorgehen? Wir müssen zunächst mal überlegen, was sind denn Ergebnisse und was ist der Zufallsversuch, wenn wir 3 Zufallsversuche zu einem zusammenfassen. Fangen wir mit dem Zufallsversuch an. Wir können, das was wir gesehen haben, als 3-maliges Würfeln bezeichnen und dann hat das Kind einen Namen. Dann haben wir einen Zufallsversuch, der aus 3-maligem würfeln besteht. Was sind dann die Ergebnisse eines solchen Zufallsversuchs? Ein Ergebnis haben wir schon gesehen, nämlich erst die 5 würfeln, dann die 5 würfeln und dann die 2 würfeln. Und das was hier steht, nennt sich Tripel, weil es sich aus 3 Zahlen zusammen setzt. Das sind also 3 Positionen, die jeweils mit Ergebnissen aus einem Zufallsversuch, bestückt werden können. Und zusammen ist das dann ein Tripel, ein Ergebnis unseres 3-maligen Würfelns. Jetzt müssen wir uns natürlich fragen, welche Ergebnisse gibt es denn noch. Und da möchte ich jetzt hier nicht alle möglichen Zahlen hinschreiben, die beim jeweiligen Würfeln auftreten können, damit es nicht zu kompliziert wird. Ich möchte hier am Angang nur zum Beispiel unterscheiden, zwischen 5 und nicht 5. Das heißt, ein anderes Ergebnis wäre jetzt: nicht 5 würfeln, dann 5 würfeln und dann eine 2 würfeln. Ebenso könnte man sagen, erst eine 5 würfeln, dann keine 5 würfeln und dann eine 2 würfeln, ist noch ein Ergebnis. Und wir haben noch 5 würfeln, 5 würfeln und dann keine 2 würfeln, das können wir auch noch als Ergebnis sehen. Und jetzt ergibt sich natürlich weiter die Frage, was ist dann unsere Ergebnismenge, welche Ergebnisse haben wir noch? Wir haben noch die Möglichkeit erst eine 5 zu würfeln, dann keine 5 und dann keine 2 zu würfeln. Außerdem können wir erst keine 5 würfeln und dann noch mal keine 5 und dann eine 2. Und auch keine 5 und dann eine 5 und keine 2. Oder auch keine 5, keine 5 und auch keine 2. Das sind alle möglichen Ergebnisse, wenn man nur zum Beispiel zwischen 5 und nicht 5 unterscheiden möchte. Die nächste Frage ist, wie kommen wir zu den Wahrscheinlichkeiten, die wir diesen Ergebnissen jetzt zuordnen wollen? Und da können wir wieder, um das zu verstehen, das gute alte Baumdiagramm verwenden. Wir können uns vorstellen, dass wir eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 haben, die wird hier verteilt auf: beim ersten Mal 5 würfeln, bzw. auf, beim ersten Mal keine 5 würfeln. Und wie man das verteilt, glaube ich, da sind wir uns einig, 1/6 entfällt auf die Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu würfeln. Und 5/6 entfallen auf das Ergebnis keine 5 würfeln. Also Ergebnis jetzt des 1. Zufallsversuchs. Wir sind ja jetzt dabei, dass unsere Ergebnisse hier, beim 3-maligen würfeln, Tripel sind. Da muss man immer vorsichtig sein, was man da sagt. Dann können wir die Wahrscheinlichkeit, die hier angekommen ist, noch aufteilen. Und zwar zu 1/6 auf die Möglichkeit, eine 5 zu würfeln, beim 2. Mal, bzw. beim 2. Mal keine 5 zu würfeln und diese Möglichkeit hier bekommt dann 5/6 der Wahrscheinlichkeit, die hier schon angekommen ist. Das können wir hier ganz genauso machen. Da haben wir dann 1/6 der Wahrscheinlichkeit, die hier bei der nicht 5 angekommen ist, wird auf die 5 verteilt. Und 5/6 bekommt dann hier die Möglichkeit keine 5 zu würfeln. Dann geht es weiter, ich möchte mal hier zeigen, wie es weiter geht. Dann haben wir die Wahrscheinlichkeit, die hier angekommen ist, auf die 2, bzw. auf die nicht 2 zu verteilen. 1/6 entfällt auf die 2 und 5/6 auf die nicht 2. Hier geht es natürlich so weiter, da auch und da auch. Das zeige ich jetzt nicht alles, damit das hier nicht zu unübersichtlich wird. Falls es das nicht schon ist. Wie kommen wir jetzt zu der Wahrscheinlichkeit, für das Tripel 5, 5, 2? Wir haben gesagt, 1/6 der Gesamtwahrscheinlichkeit, aus der gesamten Wahrscheinlichkeit von 1, entfällt auf die 5. 1/6 auf die nächste 5 und dann müsste natürlich noch 1/6 auf die 2 entfallen. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, die wir hier zuordnen können, ist dann also 1/216, es ist nämlich 1/6 von 1/6 von 1/6 und das rechnet man aus mit 1/6×1/6×1/6 und das ist 1/216. Wie sieht es hier aus, bei diesem Ergebnis? Da haben wir 5/6×1/6×1/6, denn 1/6 eines 1/6 von 5/6 ist 5/216. Das gleiche haben wir hier: Da haben wir auch als Zuordnung 5/216. Hier haben wir 1/6×5/6×5/6, und das sind 25/216. Da haben wir ebenfalls 25/216, jetzt hab ich sogar den Zuordnungspfeil vergessen hier. Und da haben wir auch noch mal 25/216. Und hier haben wir 5/6×5/6×5/6, das sind 125/216. Und das ist jetzt das Ergebnis, mit der größten Wahrscheinlichkeit. Diese Idee hier, dass man eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 in diesem Baumdiagramm immer weiter verteilt, auf die einzelnen Äste, diese Idee ist relativ klar zu erkennen, glaube ich, und sehr eingängig, dass das aber so funktioniert hab ich jetzt hier nicht bewiesen. Ich hab außerdem nicht bewiesen, dass man das unbedingt so machen muss. Und ich hab auch nicht gezeigt, dass es mit der Realität übereinstimmt. Also, wie man so sagt, mit der frequentistischen Auffassung der Wahrscheinlichkeit, die dann dazu führt, dass man bei häufiger Versuchsdurchführung feststellt, dass die relative Häufigkeit dieses Ergebnisses hier, sich bei 1/216 einpendelt. Ich hab ja auch nicht gesagt, was das Einpendeln bedeutet. Ich glaube, das brauchen wir hier in diesem Zusammenhang auch nicht. Für die Schulmathematik und die Binomialverteilung, worauf wir hinaus wollen, ist das so genau nicht erforderlich. Ich wollte nur, für die Leute, die da gerne tiefer nachfragen, sagen, es gibt da noch sehr viele Fragen zu klären, wenn man möchte und das sehr genau nehmen möchte.  Was haben wir jetzt erreicht? Wir haben mehrere Zufallsversuche zu einem zusammen gefasst. Wir können beliebig viele Zufallsversuche, zunächst mal endlich viele Zufallsversuche, zu einem zusammen fassen. Wir bekommen dann Paare, Tripel, Quadtupel, Quintupel, Quadtupel wenn mal 4 mal würfelt, Quintupel, wenn man 5 mal würfelt oder wenn man 100 mal würfelt, bekommt man 100er Tupel, so sagt man das. Wir können also die Zufallsversuche zu einem zusammenfassen, wir können Wahrscheinlichkeiten zuordnen, in dem wir uns ein Baumdiagramm aufzeichnen oder auch vorstellen. Bei 100 Zufallsversuchen wird es ein bisschen schwieriger, das Baumdiagramm aufzuzeichnen. Und haben damit eine Grundsituation, mit der wir sehr bequem rechnen können, die wir von der bisherigen Wahrscheinlichkeitsrechnung auch kennen. Einfach Ergebnisse Zahlen zugeordnet, die Wahrscheinlichkeiten sind. Damit kann man bequem rechnen. Und das ist eine gute Grundlage, um die Mathematik weiter zu entwickeln. Ich freue mich drauf. Bis dahin, viel Spaß, tschüss.

Informationen zum Video