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Transkript Mehrstufige Zufallsexperimente – Münzwurf

Hallo, es geht um einen Zufallsversuch. Und zwar um das dreimalige Werfen einer Münze. Wenn man eine Münze wirft, dann kann die Zahl oben liegen oder es kann das Wappen oben liegen. Das soll dreimal gemacht werden. Das ist unser Zufallsversuch. Und hier soll dieser Zufallsversuch nun beschrieben werden. Und zwar so, dass Du hinterher alle Fragen zu diesem Zufallsversuch beantworten kannst. Die Fragen nach Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse. Man kann das mit einem Baumdiagramm machen, das zeige ich gleich hier. Ich zeige es aber auch mit der anderen Methode, mit der grundlegenden Methode. Wir müssen uns erst überlegen, was sind die Ergebnisse dieses Zufallversuchs. Also wenn ich jetzt einmal werfe, dann kann das Wappen oben liegen, also schreibe ich  W auf, dann kann noch mal das Wappen oben liegen W, danach die Zahl Z, wäre möglich. Und es wäre auch möglich, dass zuerst das Wappen W oben liegt, dann die Zahl Z und wieder das Wappen W. Ich hab es schon so notiert, mit den Klammern, weil das hier Tripel sind. Dinge mit 3 Einträgen heißen Tripel. Das sind geordnete Tripel, denn wir möchten dieses hier von dem unterscheiden. Beide haben ja die gleichen Einträge, nur an verschiedenen Positionen. Wenn man sagt, es sind geordnete Tripel, möchte man auch diese verschiedenen Positionen unterscheiden. Wenn ich nun wissen will, wie sieht denn meine Ergebnismenge aus, welche Tripel gehören alle dazu, dann muss man einfach alle aufschreiben und das hab ich schon mal vorbereitet. Das sind alle Tripel, die hier auftreten können bei dem dreifachen Münzwurf. Das ist also unsere Ergebnismenge, dann brauchen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse. Wir gehen davon aus, dass es sich um einen Laplace-Versuch handelt, dass jedes Tripel hier die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, aufzutreten. Das machen wir aufgrund der Struktur des Versuches. Deshalb wissen wir auch gleich, wie groß die Wahrscheinlichkeiten sind. Nämlich man muss für die Wahrscheinlichkeit eines Elementes dieser Ergebnismenge nur wissen, wie viele Elemente gibt es denn. Und 1 durch diese Anzahl ist dann die Wahrscheinlichkeit. Es gibt 8 Elemente und deshalb bekommt jedes Element die Wahrscheinlichkeit 1/8 zugeordnet. Und damit ist unser Zufallsversuch komplett beschrieben. Wenn jetzt danach gefragt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im 2. Wurf das Wappen zu sehen ist, dann muss ich einfach nur schauen, bei welchem Tripel ist das so, dass im 2. Wurf das Wappen zu sehen ist. Das ist bei diesen beiden hier und bei diesen beiden. Das sind also 4 Ergebnisse, die zu der Menge zusammengefasst werden, beim 2. Mal Wappen. Und die Wahrscheinlichkeit für diese Menge ist 4/8. Das kann man kürzen, das ist 1/2. Also diese 4 Elemente werden zu einem Ereignis zusammengefasst. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Du kannst es nun mit allen möglichen Ereignissen machen, sobald Du weißt, welche Ergebnisse zum Ereignis gehören, ist die Sache durch und Du weißt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist. Wie macht man das mit einem Baumdiagramm? Man stellt sich vor, man wirft zunächst einmal eine Münze, dann kann Wappen erscheinen oder auch Zahl. Dann wirft man noch mal und dann kann wieder Wappen oder Zahl erscheinen, bzw. hier unten auch Wappen oder Zahl. Und beim 3. Mal ist das gleiche der Fall. Jeweils kann wieder Wappen oder Zahl oben liegen. Und jetzt ist die Frage, wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten an den verschiedenen Ästen? Wir gehen davon aus, dass diese Münze hier fair ist. Das jede Seite die gleiche Wahrscheinlichkeit hat oben zu liegen. Dann teilt sich die Wahrscheinlichkeit von 1 auf in 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, die nun hier ankommt, verzweigt sich nun weiter und zwar, beim 2. mal werfen ist die Situation gleich, wie beim 1. mal. Deshalb verteilt sich hier die Wahrscheinlichkeit zur Hälfte zu Wappen und zur anderen Hälfte zu Zahl. Und die Wahrscheinlichkeit, die jetzt hier angekommen ist, beim 2. Wappen, die verzweigt sich jetzt weiter. Wieder 1/2 zum Wappen und 1/2 zu Zahl. Jetzt haben wir die Pfad-Multiplikationsregel. Wenn wir jetzt wissen wollen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  für das Ergebnis W, W, W, dann müssen wir 1/2×1/2×1/2 rechnen. 1/2×1/2×1/2=1/8. In diesem Baumdiagramm steht für jeden Pfad ein einzelnes Ergebnis. Ich kann mich auch fragen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Wappen, Zahl, Zahl. Diese Wahrscheinlichkeit ist ebenfalls 1/8. Wenn man jetzt zum Beispiel nach der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beim 2. Mal Wappen fragt, dann geht man nach der Pfad-Additionsregel vor. Man sieht, hier ist beim 2. Mal Wappen und wir haben den Pfad dazu, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/8 und den Pfad auch mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/8. Und hier haben wir auch noch 2 Pfade, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/8. Man muss jetzt alle diese Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen, nach der Pfad-Additionsregel, um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, beim 2. Mal Wappen zu erhalten. Und jetzt kommt noch eine kleine Interpretation dazu. Das, was hier steht, diese Tripel, mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, das ist der eigentliche Versuch, mathematisch gesehen. Ab hier beginnt die Mathematik. Wir haben eine Menge mit zugeordneten Zahlen, das ist unsere Grundlage. Das ist Wahrscheinlichkeitsrechnung. Das, was hier ist, ist eine Veranschaulichung dieser Situation. Das heißt, das hier existiert zusätzlich. Damit kann man auch rechnen. Aber die Grundlage ist hier unsere Ergebnismenge mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Ich sag das deshalb so, weil bei den Baumdiagrammen öfter Missverständnisse auftreten, wie dass man denkt, es seien 3 Versuche gemacht worden. Das stimmt nicht, es ist nur einer. Das dreifache Werfen einer Münze ist ein Zufallsversuch. Man denkt dann, man müsste keine Ergebnismenge mehr definieren. Das ist unsere Situation, die ist einfach genug, finde ich. Damit solls hier gut sein. Viel Spaß damit, tschüss.

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