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Transkript Mehrstufige Zufallsexperimente – Kugeln ziehen (2)

Hallo, wir machen einen Zufallsversuch: Ziehen von Kugeln aus einem Behälter ohne Zurücklegen. Dreimaliges Ziehen. Das ist der Zufallsversuch und diesmal möchte ich mit dem Baumdiagramm anfangen. Also was kann uns hier passieren? Wir könnten also einmal ziehen und dann kriegen wir eine gelbe Kugel oder eine blaue Kugel. Entsprechend hat der Baum zunächst mal hier zwei Äste, und hier steht gelb und da steht blau. Das steht da natürlich nicht, aber hier steht g und b und das steht für gelb und blau. Ich möchte auch gleich die Wahrscheinlichkeiten daran schreiben. Da wir ja hier zwei gelbe und zwei blaue haben, ist die Wahrscheinlichkeit eine gelbe zu ziehen gleich 1/2 und die Wahrscheinlichkeit eine blaue zu ziehen ebenfalls 1/2, weil sich die Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 auf die beiden Möglichkeiten hier verteilt, und zwar zu gleichen Teilen. Also jeweils dann 1/2. Dann, wenn ich jetzt eine gelbe gezogen habe, ist die ja raus, die kannst du jetzt nicht mehr sehen. Nur noch diese sind noch drinnen. Dann kann man wieder eine gelbe ziehen oder eine blaue. Aber jetzt eine gelbe zu ziehen ist nicht so wahrscheinlich wie eine der blauen zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine gelbe zu ziehen ist 1/3. Die Wahrscheinlichkeit dafür eine blaue zu ziehen ist 2/3. Dann geht es hier weiter mit einem Ast, denn wenn eine gelbe gezogen wurde, sind nur noch blaue da. Und die Wahrscheinlichkeit einen blaue dann zu ziehen ist 1. Hier haben wir 2 Möglichkeiten. Wenn erst eine gelbe und dann eine blaue gezogen wurden, ist noch eine gelbe und eine blaue drin. Also hier gelb und blau jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2. So und dann geht es da unten so ähnlich weiter. Wenn eine blaue gezogen wurde, sind noch 2 gelbe da drin. Dann ist die Wahrscheinlichkeit. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für gelb 2/3, die Wahrscheinlichkeit für blau ist 1/3. 2/3 1/3. Wenn beim dritten Mal gezogen wird und eine gelbe und eine blaue bereits gezogen wurden, kann man hier noch gelb und blau ziehen und die Wahrscheinlichkeit ist jeweils 1/2. Ja da bin ich jetzt ein bisschen klein geworden glaube ich. Und wenn man 2 blaue gezogen hat, dann kann man nur noch eine gelbe ziehen und die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1. Das ist jetzt unser vollständiges Baumdiagramm. Wir können jetzt alle möglichen Ereignisse definieren, zum Beispiel beim letzten Mal eine gelbe Kugel ziehen und dann uns fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis? Und da muss man einfach jetzt durchgucken. Beim letzten Mal eine gelbe habe ich glaube ich gesagt, beim letzten Mal eine gelbe. Das ist hier, und hier und hier. Die Wahrscheinlichkeiten für jeweils einen Pfad errechnet man mit der Pfad-Multiplikations.Regel. 1/2 mal 2/3 mal 1/2 ist 1/6. Und hier haben wir 1/2 mal 2/3 mal 1/2. Das ist auch 1/6. Und hier haben wir 1/2 mal 1/3 und das ist ebenfalls 1/6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit kann man dann errechnen, indem man die Pfad-Additions-Regel anwendet und wir müssen dann die Wahrscheinlichkeiten, die... Also wir müssen die Wahrscheinlichkeiten addieren von den Ergebnissen, die zu, Ereignis: Beim letzten Mal gelb ziehen, gehören. Und das ist 1/6 + 1/6 + 1/6, sind also 3/6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist damit 1/2. So und dieses Baumdiagramm, muss ich trotzdem noch erwähnen, verstellt vielleicht ein bisschen den Blick darauf, was ist denn eigentlich unser Zufallsversuch, was ist unsere Ergebnismenge und wie kommen die Wahrscheinlichkeiten da zu den Ergebnissen. Dazu möchte ich nun einmal Folgendes machen: Ich nummeriere die Kugeln. Ich habe hier oben mit gelb angefangen, dann fange ich jetzt auch wieder mit gelb an. Also diese gelbe Kugel kriegt die Nummer 1. Die kriegt die Nummer 2. Und ich mache hier weiter mit 3, diese blaue. Und diese blaue kriegt die Nummer 4. Und jetzt kann ich mich fragen: Welche Form haben eigentlich diese Ergebnisse, wenn ich sie hier aufschreiben wollte. Und da ich dreimal ziehe, liegt es nahe die Tripel aufzuschreiben. Ich könnte also beim ersten Mal die gelbe Kugel mit der Nummer 1 ziehen. Beim zweiten Mal die gelbe Kugel mit der Nummer 2. Beim dritten Mal die blaue Kugel mit der Nummer 3. Dann könnte ich beim ersten Mal die Kugel mit der Nummer 1, beim zweiten Mal die Kugel mit der Nummer 2, beim dritten Mal die Kugel mit der Nummer 4, ziehen. Und so weiter. Man muss hier, wenn man diese ganzen Ergebnisse jetzt aufschreiben, wollte natürlich beachten, dass jetzt eine Zahl immer nur einmal vorkommen kann. Denn wenn sie vorkommt, ist sie ja gezogen, sie wird nicht wieder zurückgelegt und dann damit danach also nicht mehr vorkommen. Die Wahrscheinlichkeiten jeweils sind 1/4 mal 1/3 mal 1/2, also die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis. Man kann sich das auch so vorstellen, dass jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Und dann müsste man sich einfach überlegen, wie viele Möglichkeiten habe ich denn hier Kugel zu ziehen? Und wie viele Ergebnisse habe ich? Es wird darauf hinauslaufen, dass es dann 4 mal 3 mal 2 Möglichkeiten gibt, also 24 Möglichkeiten. Dementsprechend, da es sich hier um einen Laplace-Versuch handelt, hat dann jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 1/24. Das möchte ich jetzt nicht weiter ausführen. Man könnte zwar auch diese 24 Ergebnisse hinschreiben, ist aber auch angesichts dessen, das man den Baum schon hat, natürlich etwas mühsam. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass letzten Endes das Grundlegende, was wir hier haben, ist ein Zufallsversuch. Das ist eine Ergebnismenge und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Das ist letzten Endes unsere Grundlage, über die wir dann mathematische Aussagen machen. Hier in dem Fall ist es praktisch so einen Baum anzulegen, aber dieser Baum beschreibt das, was hier letzten Endes stehen würde, wenn man es komplett aufgeschrieben hätte. Hier ist die Mathematik und hier ist quasi die Veranschaulichung dazu. Ja, das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

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