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Transkript Mehrstufige Zufallsexperimente – Dreimaliges Kartenziehen

Hallo! Es geht um einen Zufallsversuch mit diesen Karten hier. Aus diesem Kartenstapel soll dreimal mit Zurücklegen gezogen werden. Und die Frage ist: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dreimal die gleiche Farbe zu ziehen? So, wie geht man daran? Man guckt sich erst mal an, welche Karten man da hat. Karo 8, Karo 9, Karobube, noch ein Karobube, Karodame, noch eine Karodame, Karokönig, Karokönig, Herz 7, Herz 8, Herz 9, Herz 10, Herzdame, Herzkönig, Pik 7, Pik 8, Pik 10, Pikdame, Kreuz 9 und Kreuzbube. Es gibt 4 Farben und nicht nur 2. Man könnte ja meinen, Farben bedeutet hier rot oder schwarz, dem ist nicht so. Beim Skat und bei anderen Kartenspielen sind die Farben folgende, nämlich: Karo, Herz, Pik und Kreuz. 4 Farben haben wir. Gut, wir ziehen also dreimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dreimal die gleiche Farbe zu erhalten? Wie geht man daran? Man überlegt sich immer als erstes: Was eigentlich ist hier der Zufallsversuch? Das ist gar nicht so einfach, wie es sich für manche Leute vielleicht anhört, weil es hier zum Beispiel 2 verschiedene Möglichkeiten gibt. Man könnte sagen: Der Zufallsversuch ist das einmalige Ziehen und dieser Zufallsversuch wird nun dreimal hintereinander ausgeführt. Da könnte man zum Beispiel ein Baumdiagramm zu zeichnen, wäre jetzt hier relativ aufwendig, das Baumdiagramm zu zeichnen. Das ist aber eine Möglichkeit, dass man sagt: Das einmalige Ziehen ist mein Zufallsversuch und der wird dreimal ausgeführt. Ich möchte hier eine andere Methode vorstellen. Ich möchte sagen: Der Zufallsversuch ist das dreimalige Ziehen. Und mit diesem Zufallsversuch weiterrechnen. Das ist deshalb wichtig, weil ja die nächste Frage ist: Was sind die Ergebnisse dieses Zufallsversuchs? Und wenn man sagt, das dreimalige Ziehen ist der Zufallsversuch, dann ist ein Ergebnis in unserem Fall ein Tripel. Zum Beispiel könnte ich ziehen den Karokönig hier. Ich sage mal Karokönig, und zwar diesen ersten hier. Ich könnte ja auch den zweiten ziehen, Karokönig 1. Dann könnte ich ziehen Pik 7. Schreibe ich mal so auf, Pik 7. Und da man ja mit Zurücklegen zieht, könnte ich ja zufälligerweise noch mal die Pik 7 ziehen. Also: Karokönig erste Karte - also diese Karte, nicht diese hier ist gemeint - Pik 7, Pik 7 wäre also ein mögliches Ergebnis bei diesem Zufallsversuch. Das ist ein Tripel, und wenn man den Zufallsversuch anders modellieren würde, dann hätte man ja kein Tripel, sondern nur eine Karte und dann müsste man anders vorgehen. Dann ist die Frage, die man sich an der Stelle gerne stellen darf: Ist das ein Laplace-Versuch? Wenn es ein Laplace-Versuch ist, kann man die Wahrscheinlichkeiten relativ einfach ausrechnen. Ob es ein Laplace-Versuch ist oder nicht, muss man sich hier mit dem gesunden Menschenverstand überlegen. Laplace-Versuch bedeutet: Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wenn wir jetzt also sagen, wir ziehen rein zufällig irgendwelche Karten und jede Möglichkeit hier ist ja ein Ergebnis, das auftreten kann, dann sehen wir vielleicht nicht, warum irgendein Ergebnis eine größere Wahrscheinlichkeit haben sollte als ein anderes. Und deshalb können wir hier aufgrund reiner Überlegungen des gesunden Menschenverstandes sagen: Es ist ein Laplace-Versuch. Alle Ergebnisse sind also gleich wahrscheinlich. Wir wissen, bei Laplace-Versuchen ist es so, wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmen möchten - ein Ereignis ist ja eine Menge von Ergebnissen - dann braucht man nur zu wissen, wie viele Ergebnisse gehören zu dem Ereignis. Diese Zahl teilt man durch die Zahl aller möglichen Ergebnisse und prompt hat man die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. Das ist eine sehr komfortable Rechnung und von der möchte ich jetzt Gebrauch machen. Zunächst mal muss man sich dann überlegen: Wie viele Ergebnisse gibt es denn? Das macht man, wie du es aus der Kombinatorik kennst, mit der Methode, dass man sich fragt: Wie viele Möglichkeiten habe ich denn hier für diesen ersten Eintrag des Tripels? Nun, da gibt es 20 Möglichkeiten, denn beim ersten Mal ziehen kann ich ja eine von 20 Karten ziehen. Für den zweiten Eintrag dieses Tripels gibt es wieder 20 Möglichkeiten, denn die erste Karte wird ja zurückgelegt und dann hat man wieder 30 Karten und eine wird zufällig gezogen. Beim dritten Mal hat man wieder 20 Möglichkeiten. Das heißt, 20×20×20 Möglichkeiten hat man. 203 - rechne ich jetzt nicht weiter aus - ist die Anzahl aller Möglichkeiten. Dann ist die Frage: Wie viele Ergebnisse gehören zu dem Ereignis "3 gleiche Farben"? Zunächst einmal kann ich hier aus diesen Karokarten, es sind 2, 4, 6, 8 Karokarten, beim ersten Mal diese ziehen, wieder zurücklegen, beim zweiten Mal diese und beim dritten Mal diese hier, zum Beispiel. Das wäre ein Ergebnis, das zu dem Ereignis gehört: dreimal Karo. Und die Frage ist jetzt: Wie viele Möglichkeiten habe ich, dreimal Karo zu ziehen? Ich habe beim ersten Mal 8 Möglichkeiten, dann wird die Karte wieder zurückgelegt. Dann ziehe ich noch mal eine Karokarte, habe ich wieder 8 Möglichkeiten und beim dritten Mal wieder 8 Möglichkeiten. Deshalb sind es hier 83 Möglichkeiten, dreimal hintereinander eine Karokarte zu ziehen. Dann machen wir mit den Herzkarten weiter. 1, 2, 3, 4, 5, 6 Herzkarten sind es. Ich kann beim ersten Mal diese Karte ziehen, zum Beispiel, beim zweiten Mal vielleicht wieder diese Karte und beim dritten Mal diese hier. Jedes Mal habe ich 6 Möglichkeiten. Also gibt es 63 Möglichkeiten, 3 Herzkarten zu ziehen. Bei Pik ist es genauso. Man hat 4 Pikkarten, 43 Möglichkeiten, eine Pikkarte zu ziehen und 23 Möglichkeiten dreimal hintereinander eine Kreuzkarte zu ziehen. Wenn man jetzt alle Ergebnisse addiert und diese Summe durch die Anzahl aller Ergebnisse teilt, bekommt man die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "3 gleiche Farben". Ja, und was soll ich sagen? Ich habe es vorher heimlich nachgerechnet: 0,1. Das ist schon die ganze Rechnung. Wie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung das oft vorkommt, hat man quasi von der Rechnung her fast nichts zu tun. Das rechnet man natürlich mit dem Taschenrechner aus. Aber die Überlegungen dahinter, also: Was ist der Zufallsversuch? Was sind die Ergebnisse überhaupt? Welche gehören denn dazu? Ist es ein Laplace-Experiment oder nicht? Das ist das Eigentliche, woraus diese Wahrscheinlichkeitsaufgaben bestehen. Das war es. Viel Spaß damit. Tschüss!

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