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Transkript Mehrstufige Zufallsexperimente – Ausschuss von Produkten

Hallo! Es gibt viele Aufgaben zu Baumdiagrammen. Die haben mit Produktionen zu tun. Da kann man zum Beispiel sagen: Bei einer Massenproduktion irgendeines Gegenstandes ist zum Beispiel 20 % Ausschuss, das heißt, 20% aller produzierten Gegenstände können nicht verwendet werden. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass von 3 produzierten Gegenständen zwei Ausschuss sind. Ich zeige zwei Versionen davon: einmal die stumpfe Version: Baumdiagramm schreiben und wohlfühlen. Die andere Version -ein bisschen was verstehen dazu- die kommt erst danach. Wenn wir jetzt wissen: 20 % Ausschuss, 80 % brauchbar, dann können wir ein Baumdiagramm zeichnen und sagen, das ist gut und das ist schlecht. Gut sind 80 %, also 0,8 und schlecht sind 20%, 0,2. Das geht jetzt drei mal so. Dann haben wir hier wieder gut und schlecht, gut und schlecht. Und hier wieder 0,8; 0,2; 0,8; 0,2. Und das geht nochmal hier so. Dann schreibe ich jetzt nicht alle Prozente und Wahrscheinlichkeiten dran, um dich nicht zu langweilen. Also dann wird hier wieder 0,8 sein und da 0,2; 0,8; 0,2 usw. Das ist das Baumdiagramm dazu. Wenn jetzt gefragt wird: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 produzierte Gegenstände schlecht sind oder Ausschuss sind, dann musst du einfach diese Äste durchgehen und gucken, wo zweimal s steht. Das ist hier gss, das ist hier bei sgs und bei ssg. Du wirst jeweils die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, hier von gss mit 0,8 x 0,2 x 0,2, Pfad-Multiplikationsregel. Bei sgs, also 0,2 x 0,8 x 0,2 und hier unten entsprechend. Dann wirst du nach der Pfad-Additionsegel die Wahrscheinlichkeiten dieser drei Pfade addieren und hast die Wahrscheinlichkeit dessen, wonach gefragt wurde und kannst die Antwort hinscheiben. Für die, die nur die richtige Antwort hinschreiben wollen, ist der Film hier vorbei. Für die anderen, die was verstehen wollen, geht's jetzt weiter. Bei diesen Zufallsversuchen, wenn du das weiter ausbaust und mehr darüber lernst, wird vor allem die Problematik auftreten, dass es gar nicht so einfach ist zu sehen, was ist der Zufallsversuch, was sind die Ergebnisse des Zufallsversuchs. Deshalb möchte ich das hier mal genauer erklären, wie man sich vorstellen kann, was der Zufallsversuch ist und warum die Wahrscheinlichkeiten so zustande kommen. Wir haben folgende Möglichkeiten: 1. Ergebnismenge Wenn wir 3 Teile kontrollieren, dann kann folgendes auftreten: Alle 3 Teile sind gut (ggg), das ist also ein Triple, was auftreten kann. Dann kann passieren gut-gut-schlecht (ggs), gut-schlecht-gut (gsg) und gut-schlecht-schlecht (gss) usw. Dann geht das noch mal mit schlecht vorne los schlecht-gut-gut (sgg), schlecht-gut-schlecht (sgs), und schlecht-schlecht-gut (ssg) und schlecht-schlecht-schlecht (sss). 8 mögliche Ergebnisse haben wir hier. Ist eigentlich auch kein Wunder, denn ich habe hier auf der ersten Position 2 Möglichkeiten. Für jede Möglichkeit hier auf der 1. Position habe ich 2 weitere auf der 2. Position, und für jedes Paar, was vorne steht, habe ich wieder 2 weitere auf der 3. Position. Also 2x2x2 Möglichkeiten, insgesamt sind es also 8 Ergebnisse. Das die hier immer kleiner werden, ist jetzt reiner Zufall. Dann muss ich mir überlegen: Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse? Da kann man das so machen, dass man sich zunächst mal überlegt: Ich definiere Ereignisse: Das blaue Ereignis, was ich mal so andeuten möchte, und hier oben das andere blaue Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis mit "gut" beginnt, ist also 80 %, 0,8. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis mit "gut" beginnt, ist also 80 %, 0,8. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis mit "gut" beginnt, ist also 80 %, 0,8. Und hier habe ich 0,2, das ist die andere Wahrscheinlichkeit. Dann kann ich weitere Ereignisse definieren: Dass es hier mit "gut" weitergeht und dass es hier mit "schlecht" weitergeht, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mit "gut" weitergeht, ist 0,8 und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mit "schlecht" weitergeht, ist 0,2. Und hier ist das gleiche, dass wir auf der 2. Position ein "gut" haben, die Wahrscheinlichkeit ist 0,8 und die ist 0,2. Dann wissen wir noch drittens, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf der 3. Position ein "gut" ist, 0,8 ist. Dass auf der 3. Position ein "schlecht" ist, die Wahrscheinlichkeit ist 0,2. 0,8, 0,2 usw. Dann kann man sich überlegen: Wie wahrscheinlich ist denn jetzt ein Ergebnis? Dann wissen wir, alle Ergebnisse zusammen haben die Wahrscheinlichkeit von 1. Dieses Ereignis hat jetzt die Wahrscheinlichkeit von 0,8. Wenn ich jetzt wissen will, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis hier, weiß ich, es ist im Ereignis, das die Wahrscheinlichkeit 0,8 hat. Es ist auch in dem Ereignis, das die Wahrscheinlichkeit 0,2 hat. Dann muss ich also rechnen 0,8x0,2, dann habe ich die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. Und innerhalb dieses Ereignisses hat dieses Element noch 80 % der Wahrscheinlichkeit, die auf dieses Ereignis entfällt. Also muss ich rechnen 0,8x0,2x0,8. Das ist die Begründung dafür, warum auch in diesem Fall die Pfad-Multiplikationsregel gilt und wie man sich erklären kann, wie diese Wahrscheinlichkeiten hier zustande kommen für die einzelnen Ergebnisse. Bei allen anderen Ergebnissen muss man natürlich genauso vorgehen. Was noch wichtig ist für dein weiteres Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wir hatten eine Aufgabenstellung, die mit Produktion zu tun hat, und haben gesagt: Wir haben hier eine Ergebnismenge gebastelt, wir haben die Wahrscheinlichkeiten zugeordnet und das ist hier unsere künstliche Situation. Das ist eine theoretische Situation, von der wir behaupten, diese Situation hat mit der Aufgabenstellung zu tun. Und was das so ist, kann man nicht beweisen. Hier ist die Mathematik, da kann man rechnen und beweisen. Aber dass diese Situation mit der Situation zu tun hat, wie sie in der Aufgabenstellung war oder mit einer realen Situation zu tun hat, in der wirklich was produziert wird, das ist nicht beweisbar. Da ist eine gewisse Lücke zwischen Theorie und Praxis, die man aber auch nicht überwinden kann. Was man hier machen kann, ist, dass man klar und deutlich sagt: Ich glaube, dass die Situation, so wie ich es hier aufgeschrieben habe, angemessen dargestellt ist. Das kann jeder nachvollziehen, da kann jeder drauf gucken und das verstehen. Man macht öffentlich und erklärt genau, was man sich überlegt hat. Und dann kann jeder urteilen, ob das gut ist oder nicht gut ist, das ist die Möglichkeit, die man hier hat. Viel Spaß damit. Tschüss      

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