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Transkript Maximum (Hochpunkt) – Definition

Hallo. Was ist ein Minimum, ein Maximum? Was sind Hoch- und Tiefpunkte und was sind Extrema im Allgemeinen? Also, ein Maximum heißt ja auch Hochpunkt und ein Minimum heißt auch Tiefpunkt. Ein Maximum ist folgendermaßen definiert: f(x0) ist ein Maximum, wenn es ein Umgebung u(x0) gibt, sodass für alle x Element u(x0) gilt: f(x) kleiner gleich f(x0). So, wie kann man sich das vorstellen? Wir können uns ja zunächst mal überlegen: Wie sieht ein Maximum aus? Zum Beispiel so. Dann könnte die Funktion noch weiter gehen und sie könnte so was noch machen. Dann würden wir trotzdem sagen, dass hier ein Maximum ist. Das nennt sich dann lokales Maximum. Hier sind die Funktionswerte zwar größer, trotzdem ist ja hier ein höchster Punkt. Das ist ja in gewissem Sinne auch ein Gipfel. Daher also Maximum, jetzt rein mal von der intuitiven Vorstellung her. Also, dieser Funktionswert hier hat einen x-Wert und der liegt direkt darunter. Den wollen wir mal x0 nennen. Ob man den x0 oder Erwin nennt, ist völlig egal, x0 hat sich eingebürgert. F(x0) ist hier. So sieht das aus. Und jetzt würden wir sagen, rein vom Gefühl her, ein Maximum liegt dann vor, wenn die anderen Funktionswerte kleiner sind. Dann ist es auf jeden Fall ein Maximum hier. Die müssen nicht überall kleiner sein, die können hier auch größer sein, aber es muss zumindest hier in einem bestimmten Bereich gelten, dass die Funktionswerte zumindest nicht größer sind, als der Funktionswert bei der Stelle x0. Dieses mit dem Bereich und so, das legt man halt fest mit einer Umgebung. Das ist eine Umgebung, das ist ein Intervall, in dem x0 liegt, und man sagt das: Das ist eine Umgebung um x0. So, und jetzt sagt die Definition, dass wir eine solche Umgebung brauchen um x0. Und da soll jetzt gelten, dass, immer wenn ein x in dieser Umgebung liegt, dann ist f(x) kleiner oder gleich f(x0). Das bedeutet, wir können uns jetzt mal hier eins vorstellen, da und da und da und da. Und wir gucken uns jetzt die Funktionswerte an, also f(x) an dieser Stelle, hier und hier und hier und hier und dann sehen wir: Die sind in dem Fall hier alle echt kleiner als der Funktionswert bei x0 und deshalb erfüllen diese x, also alle x, die in dieser Umgebung sind, diese Definition, denn für alle x in dieser Umgebung gilt, dass f(x), also diese Funktionswerte hier, kleiner oder gleich f(x0) sind. Jetzt steht da nicht nur kleiner, sondern es steht da kleiner gleich. Wenn da kleiner stehen würde, also wenn alle Funktionswerte echt kleiner sind als f(x0), also in dieser Umgebung, dann spricht man von einem strengen Maximum oder von einem strengen Hochpunkt. Aber sie müssen eben, so wie es hier steht, nicht nur kleiner sein, sie können auch gleich sein. Deshalb haben wir die Situation, dass bei so einem Hochplateau, könnte man sagen, können wir diese Definition auch anwenden. Dann haben wir nämlich hier ein x0. Das kommt wieder weg und f(x0) kommt auch weg. Dann haben wir hier ein x0, da ist es, und wir haben eine Umgebung um x0, also in dem Fall ein Intervall, in dem x0 liegt und für alle Funktionswerte von x, die hier im Intervall liegen, da und da und da, gilt also, dass die Funktionswerte, also f(x), gleich f(x0) sind. Also, wenn das jetzt hier eine stückweise konstante Funktion ist. Die sind alle gleich groß, das heißt, sie sind auf jeden Fall nicht größer als f(x0) und wenn die anderen nicht größer sind, dann ist f(x0) ganz oben. Die anderen sind zwar auch oben, aber f(x0) auch. Deshalb kann man sagen, dass man hier auch ein Maximum hat, denn alle f(x) sind ja genauso groß wie f(x0). Das gilt für alle x, die sich in dieser Umgebung um x0 herum befinden. Ja, das war es zum Maximum. Minimum ist im anderen Film. Viel Spaß damit, tschüss!

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