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Transkript Matrizen – Einführung

Ja, willkommen zu diesem Tutorium. Es geht heute um Matrizen. Matrizen sind einfache  Zahlenschemata, z. B. na ja, so was hier, was ich gerade zeichne. Das ist eine Matrix, ein Zahlenschema bestehend aus 2 Zeilen, z. B., und 3 Spalten. So, und die einzelnen Zahlen, die nennt man die Einträge der Matrix. Das wäre die 3. Spalte der Matrix und das ist die 1. Zeile.  Das wäre die 2. Zeile hier. Und dieses konkrete Beispiel für eine Matrix, die 2. Spalte und hier haben wir die 1. Spalte. So, und dieses konkrete Beispiel, das ist nicht besonders allgemein. Wir wollen es gerne ein bisschen allgemeiner machen, aber zunächst einmal, diese Matrix würde man eine 2×3-Matrix nennen, weil sie 2 Zeilen hat und 3 Spalten. 3 Spalten, also eine 2×3 Matrix und die Mehrzahl von Matrix ist Matrizen.   Nehmen wir noch mal ein anderes Beispiel, nehmen wir mal eine.. Wie sieht eine 3×2-Matrix aus? Also nicht 2×3, sondern 3×2. Wie sieht so was aus? Die muss 3 Zeilen haben, 3 Zeilen und 2 Spalten. Das ist eine 3×2 Matrix. Sie besteht also aus Zeilen und Spalten, und man kann diese Zeilen und Spalten durchaus als Vektoren auffassen. So tut man das auch, man nennt diese Zeilen auch Zeilenvektoren und diese Spalten Spaltenvektoren. So setzt sich also eine Matrix zusammen aus Spalten- und Zeilenvektoren. Wenn die Zahl der Zeilen und Spalten übereinstimmt, nehmen wir mal ein Beispiel, bei dem das der Fall ist. Die Matrix, nennen wir sie mal C, 2 -3 5 4, das ist eine 2×2-Matrix und so was nennt man eine quadratische Matrix - weil das Zahlenschema eben quadratische Formen hat. Genau so viele Zeilen wie Spalten. Jetzt haben wir konkrete Beispiele von Matrizen gesehen und jetzt gucken wir uns mal den allgemeinen Fall an. Und zwar den Fall einer n×n-Matrix, einer Matrix mit n-Zeilen und n-Spalten. Wie sieht so was aus, wie kann man so was überhaupt aufschreiben. Das geht ganz einfach, nennen wir die Matrix B und die Komponenten kriegen folgende Symbole. Das wäre das. Die 1. Komponente des 1. Spalten- und auch des 1. Zeilenvektors. Schreiben wir den 1. Zeilenvektor mal hin, und was wir hier jetzt sehen ist der 2. Index. Also die Objekte tragen jetzt 2 Indizes,  der 1. steht für die Zeile - wir sind hier in der 1. Zeile - und der 2. für die Spalte. So, und so geht das immer weiter, bis wir nicht mehr wollen. Bis der Zeilenvektor zu Ende ist und er hat, sagen wir mal, m-Komponenten, also letztendlich entstehen hier m-Spalten, m-Spaltenvektoren und was sich hier jetzt ändert, ist der 1. Index. Der 2. Index steht ja für die Spalte, beginnt noch in der 1. Spalte und so setzen wir das einmal weiter fort, bis wir in der nten-Spalte ankommen. Das wäre also die letzte Komponente des 1. Spaltenvektors und die 1. Komponente des letzten Zeilenvektors.  Was müsste man jetzt hier hinschreiben? Das wäre die Komponente der Matrix mit den beiden Indizes 2 und 2. Wir haben den 2. Zeilenvektor und wir sind im 2. Spaltenvektor. Das wäre also der nte, die letzte Komponente, die letzte Komponente des 2. Spaltenvektors. Und so geht das immer weiter. Was haben wir hier? Hier haben wir die mte-Komponente, die letzte Komponente des n-ten, des letzten, des n-ten Zeilenvektors. Also die 1... Wie sieht so ein allgemeines Element aus? So sieht ein allgemeiner Eintrag der Matrix.. Wie sieht das aus? Dieses i, der 1. Index, steht für die Zeile und der 2. Index für die Spalte, in der der Eintrag zu finden ist.  Also, man nennt diese Zahlen Einträge oder Elemente der Matrix. Wir sind hier in der 2., was muss ich jetzt hier machen, in der 2. Zeile und habe die mte-Komponente. Das ist also der eigentliche Fall und das wäre eine n-Zeilen, n×m-Matrix. Zeilen bestehend aus n-Zeilenvektoren und m-Spaltenvektoren. Eine n×m-Matrix. Diese Zahlen sind reell, im Allgemeinen, und wir wollen den Raum der n×m-Matrizen, schreibt man als IR n,m oder IRn×m. So schreibt man, mit diesen beiden Symbolen, beschreibt man den Raum einer n×m-Matrize. Wollen wir uns mit den Matrizen, deren Zeilen und Spaltennummer identisch sind, mal beschäftigen. Also, sprich, mit quadratischen Matrizen. Gucken wir uns die mal genauer an und nehmen das einfache Beispiel einer 2×2-Matrix. Nennen wir sie A, die 1. (wollen wir die Komponenten mal kurz hinschreiben). Man nennt jetzt diese Elemente, bei denen die Indizes übereinstimmen, die Hauptdiagonaleinträge der Matrix oder Elemente. Und die anderen beiden, bei denen eben Index, Zeilen und Spaltennummern nicht übereinstimmen, die Nebendiagonalelemente oder Einträge. Nennen wir sie Einträge. Das ist eine, also, 2×2-Matrix, im allgemeinen Fall.    Und das war es auch schon zu Matrizen. Jetzt wisst Ihr, was Matrizen sind - einfache Zahlenschemata, die bestehen aus: Spalten- und Zeilenvektoren.

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14 Kommentare
  1. Felix

    @Platti: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin Buettner, vor 7 Monaten
  2. Default

    schlecht erklärt

    Von Platti, vor 7 Monaten
  3. Default

    Der erste Index bezeichnet die Zeilennummer, der zweite die Spaltennummer. Die Punkte stehen für das, was ich nicht schreiben will und auch nicht schreiben kann: b_n1 ist das n-te Element der 1sten Spalte, b_nm das n-te der m-ten Spalte und die Punkte stehen für alles dazwischen, wobei n fest bleibt, nur der zweite Index ändert sich, also die Spaltenzahl, da wir ja horizontal wandern und damit durch die Spalten gehen. Bei senkrecht angeordneten Punkten ist es natürlich anders. Nochmal das Video anschauen! :)

    Von Lutz Klaczynski, vor mehr als einem Jahr
  4. Nopic4

    Ich habe es mit der Beschreibung nicht verstanden, das mit dem b1....bn???

    Von Ali Taoutaoui, vor mehr als einem Jahr
  5. Img 2710

    Gute Einführung aber leider nicht schön anzuhören

    Von Bremerin28, vor mehr als 2 Jahren
  1. Default

    Wie sagt Friedrich Schiller, oder war's mal wieder Goethe? "Allein der Vortrag macht des Redners Glück".
    Und öfter noch des Hörers Unglück. Aber immerhin wissen wir jetzt, was Matrizen sind. Ist doch auch nicht schlecht.

    Von Libro E Musica, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Ok, jetzt habe ich die Kritik verstanden: die Videobeschreibung passt nicht so gut, wird noch geändert, sowieso grammatikalisch grenzwertig, falls ich das war, wahrscheinlich Schlafmangel. Trotzdem ist im Video alles richtig.

    Von Lutz Klaczynski, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Nein, da ist nichts falsch gelaufen. Die Buchstaben n und m sind bloße Platzhalter. Man kann auch k x l - Matrix sagen und eine
    Matrix mit k Zeilen und l Spalten meinen. Dass vielleicht die Wahl m x n in Lehrbüchern dominiert, ändert daran nichts. Schaut mal in den Bosch "Lineare Algebra"(Springer) Kap.3! In der zweiten Hälfte des Videos wird nun mal eine n x m - Matrix behandelt. Also muss sie n Zeilen und m Spalten haben, d.h. nach unserer Konvention, die man meines Wissens zumindest im europäisch und global-angelsächsischen Raum findet. Möglicherweise bezeichnen russische Mathematiker mit der ersten Zahl die Anzahl der Spalten, usw. wäre zu überprüfen. Also: nur Konvention! Nix falsch.
    Zum Bonbon: da war keines. Das Mikro hat irgendwie mein Speichelgeplätscher im Mund mit aufgenommen, was ja sonst nicht hörbar ist. Ist ungünstig und nervt, tut mir leid.

    Von Lutz Klaczynski, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Also irgendwas ist da total falsch gelaufen. Es heisst m x n - Matrix und nicht m x n. Es sind m Zeilen mit n Spalten.

    Von Oliver Thiemig, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    So schnell kommt man da durcheinander: falsch ist n x m.

    Von Oliver Thiemig, vor mehr als 3 Jahren
  6. Default

    Gutes Video, aber das Bonbon nervt furchtbar!!

    Von Wiwa, vor etwa 4 Jahren
  7. Cimg0073

    Super Einführung!

    Von Marcel S., vor mehr als 5 Jahren
  8. Default

    Hallo Julia,
    danke für Deinen Kommentar. Ob man das für einen Gymnasial(leistungs)kurs in Linearer Algebra wissen muss, kann ich Dir nicht sagen, das weiss sicher der Lehrer. Ansonsten sind das ganz grundlegende Begriffe, die selbst Anwender der Mathematik wie z.B. Ingenieure und Physiker brauchen, wenn sie über Matrizen reden (und sie tun es manchmal). Die Elemente der Hauptdiagonalen haben häufig eine besondere physikalische Bedeutung und bei praktischen Computergestützten Rechnungen mit Matrizen, die oft die Größe 10000 X 10000 haben, ist es schön, wenn sie schwach besetzt sind, d.h. wenn fast auf allen Nebendiagonalen Nullen stehen. Liebe Grüße, Lutz

    Von Lutz Klaczynski, vor fast 7 Jahren
  9. Default

    Super Einführung. Wozu muss man wissen, dass es Haupt und Nebendiagonalen gibt? Liebe Grüße Julia

    Von Lufthansa, vor fast 7 Jahren
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