Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Logarithmusfunktion

Hallo, wir haben hier eine freundliche Funktion mit einer Funktionsgleichung, nämlich: y = log 3 (x+3) -3 und wir suchen den Definitionsbereich, den Wertebereich, die Asymptote, eine Wertetabelle brauchen wir auch noch in einem irgendwie interessanten Bereich und einen Graphen auch noch. Natürlich nur einen Ausschnitt des Graphen, denn wir können natürlich den ganzen Graphen nicht zeichnen. Ja es geht los mit dem Definitionsbereich. Wir wissen der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. Er ist nicht für 0 definiert und auch nicht für negative Zahlen definiert, das heißt, das das was hier steht, in dem Fall x+3, das muss positiv sein, ansonsten kann man den Logarithmus nicht bilden. Also geht die Mengenklammer auf, denn wir müssen jetzt hier sagen welche x wir einsetzen dürfen. Wir wissen also x+3 muss positiv sein, das bedeutet x>-3 sein und selbstverständlich x Element r, aber das wissen wir ja schon, das schreibe ich da nicht mehr hin. So und damit ist der Definitionsbereich schon erledigt. Der Definitionsbereich besteht aus der Menge, das ist die Mengenklammer, aller x für die gilt das x>-3 ist. Der Wertebereich, wie bei Logarithmusfunktionen üblich, ist R. Das heißt, jede Zahl kann als Ergebnis dieser Rechnung hier vorkommen. Wir können uns dann auch kurz optisch, grafisch vorstellen. Eine Logarithmusfunktion weißt du geht von dir aus normalerweise so und dann geht sie hier ganz langsam gegen unendlich. Falls man das so sagen darf, langsam gegen unendlich. Aber du weißt, was ich meine. Es ist kein mathematisch exakter Begriff. So verläuft die ungefähr. Das hab ich ja im Minuszeichen davor stehen, also wird sie ungefähr so verlaufen, dann ist die ja an der x Achse gespiegelt. So ungefähr. Verläuft sie. Hier geht sie auch gegen - unendlich und da gegen + unendlich von den Werten her. Und deshalb können alle reellen Zahlen als Werte dieser Funktion hier vorkommen. Kommen wir zur Asymptote. Es gibt viele Möglichkeiten zu erklären, wo genau die Asymptote verläuft. Ich möchte es hier auch wieder mal grafisch, optisch erklären. Mit ein paar Handzeichen. Und zwar weißt du ja, wenn wir einfach so eine Logarithmusfunktion haben, ohne das die irgendwie verschoben ist oder gespiegelt ist, verläuft die ja so. Und hier ist die y Achse. Da ist die y Achse und so verläuft die Funktion. Das heißt, die Asymptote ist die y Achse. Nun haben wir eine, an der x Achse gespiegelte Logarithmusfunktion. Das heißt, wir müssen das also so hier umdrehen und dann bleibt die Asymptote gleich. Die sieht dann wohl so aus die Funktion. Das ist das - Zeichen. Und weil hier x+3 im Argument steht, ist also die ganze Funktion um 3 Einheiten nach von dir aus gesehen links verschoben, also in den negativen Bereich. Das heißt hier bei x=-3 verläuft die Asymptote. Ich zeig das noch mal gleich im Graphen in schön. Also x=-3 ist die Asymptote. Das ergibt sich dann auch so ein bisschen aus der Wertetabelle. Wir wollen die Wertetabellen einen interessanten Bereich haben und da hab ich hier auch gleich schon einmal den Graphen vorbereitet. Um zu zeigen, wo das ist. Normalerweise bei diesen Aufgaben sind die Zahlen vorgegeben, für die du die Wertetabelle erstellen sollst. Das wird dann was in diesem Bereich sein, in diesem x Bereich hier, in der Nähe von x=-3. Da sind dann 1 oder 2 Funktionswerte mehr zu berechnen. Weil hier halt diese interessante Kurve verläuft. Und hier kannst du das auch noch mal sehen. Bei x=-3 haben wir hier diese Asymptote. So sieht sie aus. So ungefähr. Ja und das ist der Verlauf des Graphen. Ja und das war es dann also so weit zu dieser Aufgabe. Wir haben diese freundliche Funktion kennengelernt und wissen ungefähr, wie sie aussieht. Viel Spaß damit und tschüs.  

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Abbas Reichelt:
    Du hast richtig erkannt, dass das Argument im Logarithmus nich 0 oder negativ sein darf. In einer Ungleichung ausgedrückt, heißt das:
    x+3>0
    Jetzt musst du diese Ungleichung lösen. Hier subtrahierst du einfach beide Seiten mit 3 und wir erhalten:
    x>-3
    Also umfasst der Definitionsbereich alle reellen Zahlen großer als -3.
    Du kannst das auch ganz einfach ausprobieren, indem du zum Beispiel -2,5 in die Funktion einsetzt.
    Du erhälst für y gerundet -2,369.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    muss der Definitionsbereich nicht x grösser gleich -2 sein, denn der log darf doch nicht null oder negativ sein oder?

    Von Abbas Reichelt, vor mehr als 2 Jahren